Лекция 7

Плоские электромагнитные волны

7.1. Понятие волнового процесса.
7.2. Плоские волны в идеальной среде.
7.3. Плоские волны в реальных средах.
7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.
7.5. Поляризация ЭМВ.

7.1. Понятие волнового процесса.

Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов ?
Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:
1. Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют волновые процессы ЭМВ.
1. Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ - это скорость света.
1. Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.
1. Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.

Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.

7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.

Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.

( (
(7.2.1.) rot H = j ((a E ( Используем для анализа

( ( ( 1 - е и 2 - е уравнения
(7.2.2.) rot E = - j ((a H ( Максвелла

Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве за пределами

( ( зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.

(
Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):

( (

E = () rot H

( (

() rot (rot H) = - j((a H

( ( ( rot rot H = grad div A - (2 H

( ( ( grad div H - (2 H = (2 (a(a H

( т.к. div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла

( (

(2 H + k2 H = 0 однородное волновое ур-е
Гельмгольца (7.2.3.)

k2 = (2(a(a

Точно так же из второго уравнения получаем

( уравнения для вектора Е:

. (

(2 E + k2 E = 0 - однородное волновое ур-е
Гельмгольца (7.2.4.)
В развернутом виде запишем уравнения:

() +() +() + k2 H = 0 (7.2.5.)

Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.

r1 ( r2 ( r3 т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате y, х нет, т.е.:

= = 0

() + k2 H = 0

(7.2.6.)

Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:

H(z) = A e - jkz + B e jkz ( в обычной форме

H(z,t) = e ((( (A e - jkz + B e jkz) ( если поле зависит от времени.

( (

H(z,t) = h ( означает, что поле векторное.

( (

H(z,t) = h [A e (((((((( + B e ((((+(((] (7.2.7.)

Выделим составляющую поля c амплитудой А:

( (

Ha(z,t) = h A e (((((((( - в комплексной форме.

(7.2.8.)
Выделим из комплексного выражения действительную часть:

( (

Haреал(z,t) = Re Ha(z,t) = h A cos((t - kz) (7.2.9.)

Фотография процесса в момент времени t = t1, t = t2. С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:

Ф1 = (t1 - kz1 ; Ф2 = (t2 - kz2
(7.2.10.)

Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф1 =
Ф2

(t1 - kz1 = (t2 - kz2

k (z2 - z1) = ( (t2 - t1)

= Vф - называется фазовой скоростью волны. k = ( ( (a (a

Vф = - зависит от свойств среды, где распространяется ЭМВ.

(0 = 8,85*10 –12 , (0 = 4(*10-7 ,

V = 3*108 (7.2.11.)
( - называют пространственную периодичность волнового процесса.
( - это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.

в т. Z1 Ф1 = (t - kz1

в т. Z2 Ф2 = (t - kz2

Ф1 - Ф2 = 2(

z2 - z1 = = (

k = - волновое число

Vф = = f ( ( если в вакууме, то

Vф = c

Vф = f (

(7.2.12.)

Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:

( ( rot H = j ( (a E

( ( rot E = - j ( (a H
Спроектируем уравнение на оси координат:

. . .

( i j k rot H =

Hx Hy Hz
-() = j((a Ex

= j((a E;

0 = j((a Ez

(

Ez = 0
-() = - j((a Hx , 0 = - j((aHz

= - j ((a Hy , Hz = 0
(7.2.13.)

В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости ( плоскости распространения:

-() = j((aEx

j k Hy = j((a Ey

(7.2.14.)

Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.

( (

Ориентация векторов Е и Н.

( (
Для плоской ЭМВ Е всегда ( Н.

((
Покажем, что величина Е Н = 0:

(( ((

E H = E H cos (E H) = 0

(i Ex + j Ey) (i Hx + j Hy)

ExHx + EyHy = Zc HyHx - ZcHxHy = 0

Ex = Zc Hy ; Ey = - Zc Hx

( (

E ( H всегда в плоской ЭМВ

( (

H = y0 A e (((((((( общая запись

( ( плоской ЭМВ.

H = x0 A Zc e ((((((((

(7.2.15.)

Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются

( (
2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление переноса энергии ?

( ( (

Пср = () Re [E (H*]
Итоги: ( (
1. Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)
1. Отношение = Zc определенная величина в случае вакуума Zc = 120 (.
Плоская ЭМВ однородная.
1. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.
1. У плоской ЭМВ Ez = 0 , Hz = 0.

7.3. Плоские волны в реальных средах.
Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать.
Любая реальная среда - набор связанных зарядов (диполей), могут быть и свободные заряды.

Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.
В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины комплексные:

( = (`a - j (a``

( = (a` - j (a``
(7.3.1.)

Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры (а (а - комплексные.

Амплитудные соотношения.

С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в реальной среде:

____ _________________ k = ( ( (a(a = ( ( ((a`- j(a``)((a`- j(a``) = ( - j( (7.3.1.)

поскольку величины (а и (а - комплексные, то k - тоже величина комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой процесс:

( ( (

H (z,t) = y0 A e (((((((( = y0 A e (((((((((((( =

(

= y0 A e ( (( e ((((((((
(7.3.3.)

Параметр ( получил название коэффициента затухания. ( - фазовая постоянная
- вещественная часть волнового числа.

Vф = ( / ( в реальных средах (7.3.4.)

Понятие ( было введено для идеального диэлектрика. Если затухание мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2( и считать, что это (. Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет смысл (соленая вода), понятием ( можно пользоваться условно.
Количественная оценка.

Рассмотрим поведение амплитуды в точках: в т. Z1 ( H(Z1) = A e - ((1

в т. Z2 ( H(Z2) = A e - ((2
Изменение a = 20 lg () = 20 lg () =

= 20 lg e (((2- (1( = 20 ( (Z2 - Z1) lg ?

Z2 - Z1 = ?

a = 8,69 ( l [дБ]
(7.3.5.)

во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .

Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором амплитуда поля убывает в е раз

( (
(вектор Е и Н).

Изменение поля Н = A e - ((. На расстоянии равном глубине проникновения в точке Z = 0, Н1 = А в т. Z = (0 H2 = A e - ((

= е = е - (( ; ( (0 = 1

(0 =

(7.3.6.)

Фазовые соотношения

Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”

____ ________________

Zc = ( = ((a` - j(a``/ (a`- j(a``=(Zc( e ((

(7.3.7.)

в реальных средах Zc величина комплексная. Поведение
( (
Е и Н в реальной среде:

( (

H(z,t) = y0 A e - (( e ((((((((

( (

E(z,t) = x0 A Zc e - (( e (((((((( =

(

= x0 A (Zc(e - (( e ((((((( ( (( (7.3.8.)
Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления показывает величину сдвига фаз между
( ( ( (
Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.

Волновой процесс в реальных средах

Расчет коэффициента затухания и фазовой постоянной в реальной среде

Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.
Реальная cреда не магнитный диэлектрик.

(a = (a`- j(a`` ; (a = (a`- j0 = ((

(7.3.9.)
(почва, вода)
Порядок расчета:

1) Из общих выражений для k:

____________ k = ( - j( = ( ( ((a`- j(a``) (a`

(7.3.10.)

Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:

(2 - 2 j(( - (2 = (2(a`(a ` - j(2(a``(a`

Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые части.

( (2 - (2 = (2 (a`(a`

(

( 2( ( = (2 (a``(a`

(2 (a`(a` = q - обозначим

(2 (a``(a` = (2 (a`(a = q tg (

= tg (
(7.3.11)

( (2 - (2 = q ; ( =

(

( 2( ( = q tg(

(2 - () tg2( - q = 0

(4 - q(2 - () tg2( = 0

(2 =
Какой знак взять + или - ?
Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к. ( - будет отрицательная.

(2 = (1 + ( 1 + tg2()

( = ( ( (( 1 + tg2( + 1) (7.3.12)

для ( решение аналогичное:

( = ( (7.3.13)

Выводы:
1. По определению Vф =

Vф = tg ( =
Vф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость Vф от f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.

( = 0 - идеальная среда

( ( 0 - реальная
Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:
1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:

tg ( tg( , тем > (.
(7.3.15)
2) Среда с большими потерями.

tg ( >> 1

( = ( tg(

( = (

( = ( = (

tg ( =

( = ( =
(7.3.16.)

(0 =
Пример:
Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном длине волны (в среде с большими потерями).

e (( = e(( = e ((((((( = e (( = 540 раз

7.4. Групповая скорость плоских волн

Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается ?

(

(

(1 (2 (3

В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью (1 (2 (3. С какой скоростью передается сигнал ?

Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов:

(1 = A cos ((1t - k1 Z)

(2 = A cos ((2t - k2 Z)
(7.4.1.)

Рассмотрим сложение двух сигналов:

( = (1 + (2 = A [cos ((1t - k1 Z) + cos ((2t - k2Z)]

( = 2A cos (((1 -) t - (k1 -) Z) *

*cos (((1 +) t - (k1 +) Z)

= ( ( = (0

= ( k = k0

( (