МГТУ им Н.Э.Баумана гр. ФН2-41
Котов В.Э.

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории
Максвелла.
(по материалам лекций Толмачева В.В.)

Постановка задачи

Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемостью и соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2)
, необходимо выяснить соотношения между углами и , а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений
Максвелла : и (1) (учитывая , что среда диэлектрическая
, т.е. ) для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет
(если оси Х направить в сторону распространения волны):
и (==0) (2) где A и B , и , - постоянные (не зависят от времени и координаты) ,

и - характеристики среды , в которой распространяется волна ,

, t - рассматриваемый момент времени x - рассматриваемая координата на оси Х

V - скорость распространения волны в данной среде

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением )

Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : и
не терпят разрыва на поверхности раздела , и также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:

(3)
(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)

Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1)
, удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай ТМ -волны (p - волны)
рис.2
Из рисунка видео , что , запишем условия равенства на границе раздела :
( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн) подставляем значения:
подставляем из (2) :

Аналогично , поскольку получаем для вектора на границе раздела:
( c учетом (2) )
для выполнения равенств для и потребуем равенства аргументов косинусов :
потребуем также равенства начальных фаз: из рисунка видно , что : , (4)
(,и - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :


из равенства аргументов получаем :

(т.к. , )
т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света разделим теперь выражения дляи на , получим (c учетом
(4) ) следующую систему :
(5) здесь неизвестными являются и , а - заданно.
Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе , тогда члены с сократятся и получим:
поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда:
.
( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что ) применив закон преломления , получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для :
(поскольку полагаем ,) , тогда:
(7) проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку , проверим первое равенство : из рисунка видно , что , а подставим значения
, и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4)
:
(выражая через второе уравнение системы (5) )

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы
Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
и

Случай ТЕ -волны ( s - волны)
рис.3
Из рисунка видно , что
Условия (3) для и :
подставляя значения и из (2) получим :
как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на и с учетом (4) получим систему :
(8) умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе :

поскольку мы полагаем (см. выше) то
(9) из второго уравнения системы (8) получаем:
(10) проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : и
.
Второе условие выполняется , поскольку , проверим выполнение равенства : из рисунка видно , что , а подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) получим : подставляем из второго уравнения системы (8) :
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))

и

Анализ формул Френеля

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения . Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга падающей и отраженной ( и
в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей
( и ) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:

А. Отражение

Исследуем сначала поведение и на границах отрезка : при (просто положить равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):


для случая падения из воздуха в стекло () : т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при:

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях больших , чем , вычисляемого следующим образом:
[1]
Для падения из стекла в воздух
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае:

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции: и
Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции , заданной неявно :

Знак этой производной ( поскольку , ) зависит только от знака выражения , это выражение > 0 , когда (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и
0 при и 0 , но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения
в 0 обращаться не может[2] это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

Это есть угол Брюстера () , при котором обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол меняет знак на минус , следовательно
как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).
При для небольших1 больше 0 при и меньше 0 при , при n