Лекции по ТОЭ

Введение

1. Элементы электрических цепей.

2. Топология электрических цепей.

3. Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных.

4. Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них.

5. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов.

6. Основы матричных методов расчета электрических цепей.

7. Мощность в электрических цепях.

8. Резонансные явления в цепях синусоидального тока.

9. Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей.
10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.
11. Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками.
12. Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей.
13. Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций.
14. Пассивные четырехполюсники.
15. Электрические фильтры.
16. Трехфазные электрические цепи: основные понятия и схемы соединения.
17. Расчет трехфазных цепей.
18. Применение векторных диаграмм для анализа несимметричных режимов.

Мощность в трехфазных цепях.
19. Метод симметричных составляющих.
20. Теорема об активном двухполюснике для симметричныхсоставляющих.
21. Вращающееся магнитное поле. Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей.
22. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах.
23. Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в трехфазных цепях.
24. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов.
25. Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом.
26. Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи.
27. Операторный метод расчета переходных процессов.
28. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом.

Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению.
29. Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния.
30. Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета.
31. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора.

Аналитические и итерационные методы расчета цепей постоянного тока.
32. Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках.
33. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей.
34. Особенности нелинейных цепей переменного тока. Графический метод расчета с использованием характеристик для мгновенных значений.
35. Графические методы расчета с использованием характеристик по первым гармоникам и действующим значениям. Феррорезонанс. Аналитические методы расчета.
36. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Метод гармонического баланса.
37. Понятие об эквивалентном эллипсе, заменяющем петлю гистерезиса. Потери в стали. Катушка и трансформатор с ферромагнитными сердечниками.
38. Переходные процессы в нелинейных цепях. Аналитические методы расчета.
39. Понятие о графических методах анализа переходных процессов в нелинейных цепях. Методы переменных состояния и дискретных моделей.
40. Цепи с распределенными параметрами в стационарных режимах: основные понятия и определения.
41. Линия без искажений. Уравнения линии конечной длины. Определение параметров длинной линии. Линия без потерь. Стоячие волны.
42. Входное сопротивление длинной линии. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами.
43. Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами к нулевым начальным условиям. Правило удвоения волны.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Ивановский государственный энергетический университет

Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологии

Доктор техн. наук, профессор А.Н. Голубев

Введение

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются базовым общетехническим курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов.
Курс ТОЭ рассчитан на изучение в течение трех семестров и состоит из двух основных частей: теории цепей (два семестра) и теории электромагнитного поля (один семестр). Данный лекционный курс посвящен первой из указанных частей ТОЭ -теории линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей.
Содержание курса и последовательность изложения материала в нем в целом соответствуют программе дисциплины ТОЭ для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов.
Цель данного курса состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное представление об электрических и магнитных цепях и их составных элементах, их математических описаниях, основных методах анализа и расчета этих цепей в статических и динамических режимах работы, т.е. в создании научной базы для последующего изучения различных специальных электротехнических дисциплин.
Задачи курса заключаются в освоении теории физических явлений, положенных в основу создания и функционирования различных электротехнических устройств, а также в привитии практических навыков использования методов анализа и расчета электрических и магнитных цепей для решения широкого круга задач.
В результате изучения курса студент должен знать основные методы анализа и расчета установившихся процессов в линейных и нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами, в линейных цепях несинусоидального тока, в линейных цепях с распределенными параметрами, основные методы анализа и расчета переходных процессов в указанных цепях и уметь применять их на практике.
Знания и навыки, полученные при изучении данного курса, являются базой для освоения таких дисциплин, как: математические основы теории автоматического управления, теория автоматического управления, электропривод, промышленная электроника, электроснабжение промышленных предприятий, переходные процессы в электрических системах, электрические измерения и т. д.
При изучении дисциплины предполагается, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной и нелинейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами электричества и магнетизма, рассматриваемыми в курсе физики.
Курс рассчитан на 86 лекционных часов и включает в себя следующие основные разделы:
-теория линейных цепей синусоидального и, как частный случай, постоянного тока;
-основы теории пассивных четырехполюсников и фильтров;
-трехфазные электрические цепи;
-линейные цепи при периодических несинусоидальных токах;
-переходные процессы в линейных электрических цепях;
-нелинейные электрические и магнитные цепи при постоянных и переменных токах и магнитных потоках в стационарных режимах;
-переходные процессы в нелинейных цепях;
-установившиеся и переходные процессы в цепях с распределенными параметрами.
При подготовке лекционного курса были использованы известные учебники, сборники и пособия [1…12], а также методические разработки кафедры ТОЭЭ
ИГЭУ.
Рекомендуемая учебно-методическая литература по дисциплине:

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи.

Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп.

–М.: Высш. шк., 1978. –528с.

2. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин,

А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат,

1989. -528с.

3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. М.:Энергия, 1972. –240с.

4. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б.

Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:

Энергия- 1972. –200с.

5. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. вузов. –3-е изд., перераб. и доп.

–М.: Высш. шк., 1990. –400 с.

6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи:

Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.:

Высш. шк., 1986. –352 с.

7. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е.

Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. -448 с.

8. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2- е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с.

9. Теоретические основы электротехники. Т. 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.

–383 с.
10. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники:

Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.:

Энергоиздат, 1982. –768 с.
11. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники:

Учеб. пособие для вузов/ Под. ред. проф. П.А.Ионкина. –М.:

Энергоиздат, 1982. –768 с.
12. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники:

Учеб. пособие/ Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др.; Под ред. Бессонова Л.А. . –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1980.

–472 с.
13. Основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/

Н.А.Кромова. –2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т.

–Иваново, 1999. -360 с.
14. Голубев А.Н. Методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 2002. -212 с.

|Теория / ТОЭ / Лекция N 1. Элементы электрических цепей. |

|Электромагнитные процессы, протекающие в электротехнических устройствах, как правило,|
|достаточно сложны. Однако во многих случаях, их основные характеристики можно описать|
|с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила |
|(ЭДС). При таком подходе совокупность электротехнических устройств, состоящую из |
|соответствующим образом соединенных источников и приемников электрической энергии, |
|предназначенных для генерации, передачи, распределения и преобразования электрической|
|энергии и (или) информации, рассматривают как электрическую цепь. Электрическая цепь |
|состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых|
|элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники |
|электрической энергии (сигналов). Электротехнические устройства, производящие |
|электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии,|
|а устройства, потребляющие ее – приемниками (потребителями) электрической энергии. |
|У каждого элемента цепи можно выделить определенное число зажимов (полюсов), с |
|помощью которых он соединяется с другими элементами. Различают двух –и многополюсные |
|элементы. Двухполюсники имеют два зажима. К ним относятся источники энергии (за |
|исключением управляемых и многофазных), резисторы, катушки индуктивности, |
|конденсаторы. Многополюсные элементы – это, например, триоды, трансформаторы, |
|усилители и т.д. |
|Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. |
|Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической |
|энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или |
|накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. К основным |
|характеристикам элементов цепи относятся их вольт-амперные, вебер-амперные и |
|кулон-вольтные характеристики, описываемые дифференциальными или (и) алгебраическими |
|уравнениями. Если элементы описываются линейными дифференциальными или |
|алгебраическими уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они |
|относятся к классу нелинейных. Строго говоря, все элементы являются нелинейными. |
|Возможность рассмотрения их как линейных, что существенно упрощает математическое |
|описание и анализ процессов, определяется границами изменения характеризующих их |
|переменных и их частот. Коэффициенты, связывающие переменные, их производные и |
|интегралы в этих уравнениях, называются параметрами элемента. |
|Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, |
|определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с |
|сосредоточенными параметрами. Если элемент описывается уравнениями, в которые входят |
|пространственные переменные, то он относится к классу элементов с распределенными |
|параметрами. Классическим примером последних является линия передачи электроэнергии |
|(длинная линия). |
|Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя|
|бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных. |
|Рассмотрим пассивные элементы цепи, их основные характеристики и параметры. |
|1. Резистивный элемент (резистор) |
|Условное графическое изображение резистора приведено на рис. 1,а. Резистор – это |
|пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением. Последнее |
|определяется геометрическими размерами тела и свойствами материала: удельным |
|сопротивлением ? (ОмЧ м) или обратной величиной – удельной проводимостью (См/м).|
| |
|В простейшем случае проводника длиной и сечением S его сопротивление |
|определяется выражением |
|. |
|В общем случае определение сопротивления связано с расчетом поля в проводящей среде, |
|разделяющей два электрода. |
|Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость (или ),|
|называемая вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость представляет |
|собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рис. 1,б), то резистор |
|называется линейным и описывается соотношением |
| |
|или |
|, |
|где - проводимость. При этом R=const. |
|Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (рис. 1,б), как будет показано|
|в блоке лекций, посвященных нелинейным цепям, характеризуется несколькими |
|параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие |
|статическое и дифференциальное сопротивления. |
|2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности) |
|Условное графическое изображение катушки индуктивности приведено на рис. 2,а. Катушка|
|– это пассивный элемент, характеризующийся индуктивностью. Для расчета индуктивности |
|катушки необходимо рассчитать созданное ею магнитное поле. |
| |
|Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам |
|катушки, |
|. |
|В свою очередь потокосцепление равно сумме произведений потока, пронизывающего витки,|
|на число этих витков , где . |
|Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость , называемая|
|вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость |
|представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис. |
|2,б); при этом |
|. |
|Нелинейные свойства катушки индуктивности (см. кривую на рис. 2,б) определяет |
|наличие у нее сердечника из ферромагнитного материала, для которого зависимость |
|магнитной индукции от напряженности поля нелинейна. Без учета явления магнитного|
|гистерезиса нелинейная катушка характеризуется статической и дифференциальной |
|индуктивностями. |
|3. Емкостный элемент (конденсатор) |
|Условное графическое изображение конденсатора приведено на рис. 3,а. |
| |
|Конденсатор – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Для расчета |
|последней необходимо рассчитать электрическое поле в конденсаторе. Емкость |
|определяется отношением заряда q на обкладках конденсатора к напряжению u между ними |
| |
|и зависит от геометрии обкладок и свойств диэлектрика, находящегося между ними. |
|Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная|
|диэлектрическая проницаемость =const. В этом случае зависимость |
|представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рис. |
|3,б) и |
|. |
|У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является |
|функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости (рис. |
|3,б). В этом случае без учета явления электрического гистерезиса нелинейный |
|конденсатор характеризуется статической и дифференциальной емкостями. |
| |
|Схемы замещения источников электрической энергии |
|Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ , называемой внешней |
|характеристикой источника. Далее в этом разделе для упрощения анализа и |
|математического описания будут рассматриваться источники постоянного напряжения |
|(тока). Однако все полученные при этом закономерности, понятия и эквивалентные схемы |
|в полной мере распространяются на источники переменного тока. ВАХ источника может |
|быть определена экспериментально на основе схемы, представленной на рис. 4,а. Здесь |
|вольтметр V измеряет напряжение на зажимах 1-2 источника И, а амперметр А – |
|потребляемый от него ток I, величина которого может изменяться с помощью переменного |
|нагрузочного резистора (реостата) RН. |
| |
|В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рис. 4,б). Она имеет |
|две характерные точки, которые соответствуют: |
|а – режиму холостого хода ; |
|б – режиму короткого замыкания . |
|Для большинства источников режим короткого замыкания (иногда холостого хода) является|
|недопустимым. Токи и напряжения источника обычно могут изменяться в определенных |
|пределах, ограниченных сверху значениями, соответствующими номинальному режиму |
|(режиму, при котором изготовитель гарантирует наилучшие условия его эксплуатации в |
|отношении экономичности и долговечности срока службы). Это позволяет в ряде случаев |
|для упрощения расчетов аппроксимировать нелинейную ВАХ на рабочем участке m-n (см. |
|рис. 4,б) прямой, положение которой определяется рабочими интервалами изменения |
|напряжения и тока. Следует отметить, что многие источники (гальванические элементы, |
|аккумуляторы) имеют линейные ВАХ. |
|Прямая 2 на рис. 4,б описывается линейным уравнением |
|, |
|(1) |
| |
|где - напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке (разомкнутом |
|ключе К в схеме на рис. 4,а); - внутреннее сопротивление источника. |
|Уравнение (1) позволяет составить последовательную схему замещения источника (см. |
|рис. 5,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным |
|источником ЭДС. Напряжение на зажимах этого элемента не зависит от тока |
|источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 5,б. На основании (1) у |
|такого источника . Отметим, что направления ЭДС и напряжения на зажимах |
|источника противоположны. |
| |
|Если ВАХ источника линейна, то для определения параметров его схемы замещения |
|необходимо провести замеры напряжения и тока для двух любых режимов его работы. |
|Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим |
|левую и правую части соотношения (1) на . В результате получим |
| |
|или |
|, |
|(2) |
| |
|где ; - внутренняя проводимость источника. |
|Уравнению (2) соответствует схема замещения источника на рис. 6,а. |
| |
|На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток|
|в ветви с этим элементом равен и не зависит от напряжения на зажимах источника, |
|следовательно, ему соответствует ВАХ на рис. 6,б. На этом основании с учетом (2) у |
|такого источника , т.е. его внутреннее сопротивление . |
|Отметим, что в расчетном плане при выполнении условия последовательная и |
|параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. Однако в |
|энергетическом отношении они различны, поскольку в режиме холостого хода для |
|последовательной схемы замещения мощность равна нулю, а для параллельной – нет. |
|Кроме отмеченных режимов функционирования источника, на практике важное значение |
|имеет согласованный режим работы, при котором нагрузкой RН от источника потребляется |
|максимальная мощность |
|, |
|(3) |
| |
|Условие такого режима |
|, |
|(4) |
| |
|В заключение отметим, что в соответствии с ВАХ на рис. 5,б и 6,б идеальные источники |
|ЭДС и тока являются источниками бесконечно большой мощности. |
|Литература |
|Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для |
|студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей |
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. |
|К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными |
|постоянными. –М.: Энергия, 1972. –240 с. |
|Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие |
|для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. |
|–448 с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Может ли внешняя характеристик источника проходить через начало координат? |
|Какой режим (холостой ход или короткое замыкание) является аварийным для источника |
|тока? |
|В чем заключаются эквивалентность и различие последовательной и параллельной схем |
|замещения источника? |
|Определить индуктивность L и энергию магнитного поля WМкатушки, если при токе в ней |
|I=20А потокосцепление ? =2 Вб. |
|Ответ: L=0,1 Гн; WМ=40 Дж. |
|Определить емкость С и энергию электрического поля WЭконденсатора, если при |
|напряжении на его обкладках U=400 В заряд конденсатора q=0,2Ч 10-3 Кл. |
|Ответ: С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж. |
|У генератора постоянного тока при токе в нагрузке I1=50Анапряжение на зажимах U1=210 |
|В,а притоке, равном I2=100А, оно снижается до U2=190 В. |
|Определить параметры последовательной схемы замещения источника и ток короткого |
|замыкания. |
|Ответ: |
|Вывести соотношения (3) и (4) и определить максимальную мощность, отдаваемую |
|нагрузке, по условиям предыдущей задачи. |
|Ответ: |

|Теория / ТОЭ / Лекция N 2. Топология электрической цепи. |

|Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и|
|способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается|
|ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие |
|ветви и узла. |
| |
|Рис.1 |
|Рис.2 |
| |
|Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током. |
|Узел – место соединения трех и более ветвей. |
|Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных |
|цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле |
|геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны. |
|Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и |
|свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы|
|электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 |
|заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3. |
|Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, |
|называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут |
|состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом. |
|Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки |
|ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная |
|ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется |
|ориентированным. |
|Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один |
|изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в |
|графе. |
|В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы: |
|1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние |
|ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути |
|только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути|
|между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность |
|ветвей, проходимых непрерывно. |
|2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным |
|узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные |
|ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, |
|то граф называют связным. |
|3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. |
|Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4. |
| |
|Рис.4 |
|4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного|
|графа. |
|Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа |
|ветвей связи графа . |
|5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных|
|подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом. |
|Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, |
|рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего |
|графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные |
|ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5. |
|С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений: |
|главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи; |
|главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева. |
|Топологические матрицы |
|Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не |
|существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в|
|ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких |
|матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений. |
|1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, |
|составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а |
|столбцы – ветвям схемы. |
|Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу |
|АН , принимая, что элемент матрицы (i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, |
|если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к |
|нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, |
|получим |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|.Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. |
|Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как |
|каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули. |
|Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А |
|(редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем |
|вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов , т.е. числу |
|уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, |
|введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа. |
|Первый закон Кирхгофа |
|Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он |
|справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. |
|справедливо соотношение |
| |
|(1) |
| |
|где - вектор плотности тока; - нормаль к участку dS замкнутой поверхности |
|S. |
|Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 |
|графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют |
|нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать |
|. |
|Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа |
|справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что |
|математически можно записать, как: |
| |
|(2) |
| |
|т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю. |
|При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) |
|узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет |
|линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации. |
|Введем столбцовую матрицу токов ветвей |
|I= |
| |
| |
|Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: |
|АI=O |
|(3) |
| |
|– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а |
|не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются|
|для (m-1) узлов. |
|В качестве примера запишем для схемы на рис. 3 |
| |
| |
| |
|Отсюда для первого узла получаем |
|, |
|что и должно иметь место. |
|2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, |
|составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют |
|контурам, а столбцы – ветвям схемы. |
|Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация |
|совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода |
|контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi. |
|Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При |
|этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. |
|Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем |
|коэффициенты для матрицы В. |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|. |
|Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа. |
|Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность |
|потенциалов между крайними точками этого участка, т.е. |
| |
|(4) |
| |
|Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура: |
| |
|Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем|
|один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю. |
|Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как: |
| |
|(5) |
| |
|- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах |
|ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием |
|законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, |
|т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других |
|хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет |
|образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые |
|уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных |
|по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу |
|ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно. |
|Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей |
|U= |
| |
| |
|Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид |
|BU = 0. |
|(6) |
| |
|В качестве примера для схемы рис. 5 имеем |
|, |
|откуда, например, для первого контура получаем |
|, |
|что и должно иметь место. |
|Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов |
|= |
| |
| |
|причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых |
|потенциалов связаны соотношением |
|U=AТ |
|(7) |
| |
|где AТ - транспонированная узловая матрица. |
|Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, |
|соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям |
|связи, может быть использовано соотношение В= (-АТС А-1ТД1). |
|3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому |
|закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям |
|графа. |
|Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. |
|Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений. |
|Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована |
|согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают |
|направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно |
|направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение. |
|В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При |
|указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного|
|и того же графа, выполняются соотношения |
|АВТ= 0; |
|(8) |
| |
| |
|QВТ= 0, |
|(9) |
| |
|которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих |
|матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка . |
|Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из |
|топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные. |
|Литература |
|1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. |
|П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. |
|шк., 1976.-544с. |
|2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для |
|электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. |
|–400с. |
|3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
| |
|Контрольные вопросы и задачи |
|Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей. |
|Что такое узловая матрица? |
|Что такое контурная матрица? |
|Что такое матрица сечений? |
|Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе |
|независимых уравнений: |
|. |
|Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что |
|ветвям дерева присвоены первые номера. |
|Ответ: |
|B= |
| |
|Q= |
| |
| |
|Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано|
|ветвями 2, 1 и 5 |
|Ответ: |
|B= |
| |
| |
|Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9). |

| Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью |
|векторов и комплексных чисел. |

|Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с |
|тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который|
|вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного |
|тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития |
|производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям |
|экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления |
|электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. |
|Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с |
|последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус |
|электроснабжения. |
|В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии |
|осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – |
|токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи|
|и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате |
|изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, |
|которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, |
|усложняя их анализ. |
|Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), |
|изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки |
|времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший |
|промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для |
|периодического тока имеем |
|, |
| (1) |
| |
|Величина, обратная перио