1. Некоторые характеристики и свойства микрообъектов.
План

1. Некоторые характеристики и свойства микрообъектов. а) Микрообъекты. б) Спин микрообъекта. в) Бозоны и фермионы. г) Нестабильность микрообъектов. д) Взаимопревращения микрообъектов. е) Универсальные динамические переменные.
2. Две основополагающие идеи квантовой механики. а) Идея квантования (дискретности) . б) Идея квантования и модель атома водорода по Бору. в) О квантовании момента импульса. г) Противоречия квантовых переходов. д) Идея корпускулярно-волнового дуализма. е) Роль постоянной Планка.

Соотношения неопределенностей. а) Идея дуализма и соотношения неопределенностей. б) Смысл соотношений неопределенностей. в) От явления дифракции микрообъектов к соотношениям неопределенностей. г) Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о полном наборе физических величин. д) Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. е) Соотношения неопределенностей “число фотонов – фаза” .

Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей. а) Оценка энергии основного состояния атома водорода. б) Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора. в) Оценка величины “размытия” края полосы оптического поглощения в эффекте
Франца-Келдыша. г) Почему электрон не падает на ядро? д) О “траектории” микрообъекта. е) Возможность подбарьерного прохождения микрообъекта (туннельный эффект) .

Невозможность классической интерпретации микрообъекта. а) Микрообъект не является классической корпускулой. б) Микрообъект не является классической волной. в) Попытки представить микрообъект как симбиоз корпускулы и волны. г) Как следует понимать корпускулярно-волновой дуализм? д) Электрон в атоме. е) Микрообъект и окружающий его мир.

Микрообъекты. К микрообъектам относятся молекулы, атомные ядра, элементарные частицы. Довольно богатый сегодня список элементарных частиц включает в себя кванты электромагнитного поля (фотоны) и две группы частиц: так называемые адроны и лептоны. Для адронов характерно сильное (ядерное) взаимодействие, тогда как лептоны никогда не участвуют в сильных взаимодействиях. К лептонам относятся электрон, мюон и два нейтрино – электронное и мюонное. Группа адронов существенно многочисленнее. К ним относятся нуклоны (протон и нейтрон) , мезоны (группа частиц, масса которых меньше массы протона) и гипероны (группа частиц, масса которых больше массы нейтрона) . Почти всем элементарным частицам соответствуют античастицы; исключение составляет фотон и некоторые нейтральные мезоны.
Говоря о характеристиках микрообъектов, прежде всего говорят о массе покоя и электрическом заряде. К примеру, масса электрона m=9,1. 10-28 г, протон имеет массу, равную 1836m, нейтрон – 1839m, мюон – 207m. Относящиеся к мезонам пионы (?-мезоны) имеют массу около 270m, а каоны (К-мезоны) – от
970m до 1750m. Массу покоя фотона и обоих нейтрино полагают равной нулю.
Масса молекулы, атома, ядра равна сумме масс составляющих данный микрообъект частиц за вычетом некоторой величины, называемой дефектом массы. Дефект массы равен деленной на квадрат скорости света энергии, которую надо затратить для того, чтобы “развалить” микрообъект на составляющие его частицы (эту энергию принято называть энергией связи) .
Чем сильнее связаны друг с другом частицы, тем больше дефект массы.
Наиболее сильно связаны нуклоны в атомных ядрах – приходящийся на один нуклон дефект массы превышает 10m.
Величина электрического заряда любого микрообъекта кратна величине заряда электрона; последняя равна 1,6. 10-19 Кл. Наряду с заряженными существуют нейтральные микрообъекты (например, фотон, нейтрино, нейтрон) .
Электрический заряд сложного микрообъекта равен алгебраической сумме зарядов составляющих его частиц.
Спин микрообъекта. Одной из важнейших специфических характеристик микрообъекта является спин. Спин можно интерпретировать как своеобразный момент импульса микрообъекта, не связанный с движением микрообъекта как целого, неуничтожимый, не зависящий от внешних условий (его часто называют внутренним моментом импульса микрообъекта) . Квадрат этого момента импульса равен h2s(s+1) . Здесь s – определенное для данного микрообъекта целое или полуцелое положительное число (именно это число и называют обычно спином) , h – универсальная физическая постоянная, играющая в квантовой механике исключительно важную роль. Ее называют постоянной Планка; она равна 1,05.
10-34 Дж. с. Спин s фотона равен 1, спин электрона (как и спин любого лептона) равен 1/2, спин нуклона тоже равен 1/2; у пионов и каонов спина нет.
Спин микрообъекта – его специфическая характеристика. Он не имеет классического аналога и, безусловно, указывает на “внутреннюю сложность” микрообъекта. Правда, иногда с понятием спина пытаются сопоставить модель объекта, вращающегося вокруг своей оси (само слово “спин” переводится как
“веретено” ) . Такая модель наглядна, но неверна. Во всяком случае ее нельзя принимать буквально. Встречающийся в литературе термин “вращающийся микрообъект” означает отнюдь не вращение микрообъекта, а лишь наличие у него специфического внутреннего момента импульса. Для того, чтобы этот момент “превратился” в классический момент импульса (и тем самым объект действительно начал бы вращаться) , необходимо потребовать выполнение условия s>>1 (много больше единицы) . Однако такое условие никогда не выполняется.
Специфичность момента импульса микрообъекта проявляется, в частности в том, что его проекция на любое фиксированное направление принимает дискретные значения: hs, h(s-1) ,..., -hs – всего 2s+1 значений. Это означает, что микрообъект может находится в 2s+1 спиновых состояниях. Следовательно, наличие у микрообъекта спина приводит к появлению у него добавочной
(внутренней) степени свободы.
Бозоны и фермионы. Знание спина микрообъекта позволяет судить о характере его поведения в коллективе себе подобных (иначе говоря, позволяет судить о статистических свойствах микрообъекта) . Оказывается, что по своим статистическим свойствам все микрообъекты в природе разделяются на две группы: группа микрообъектов с целочисленным спином и группа микрообъектов с полуцелым спином.
Микрообъекты первой группы способны “заселять” одно и тоже состояние в неограниченном числе, причем тем выше, чем сильнее это состояние “заселено”
. О таких микрообъектах говорят, что они подчиняются статистике Бозе –
Эйнштейна; для краткости их называют просто бозонами. Микрообъекты второй группы могут “заселять” состояния только поодиночке; если рассматриваемое состояние занято, то никакой микрообъект данного типа не может попасть в него. О таких микрообъектах говорят, что подчиняются статистике Ферми –
Дирака; для краткости их называют фермионами.
Из элементарных частиц к бозонам относятся фотоны и мезоны, а к фермионам – лептоны (в частности электроны) , нуклоны, гипероны. Тот факт, что электроны относятся к фермионам, отражен в хорошо известном принципе запрета Паули.
Нестабильность микрообъектов. Все элементарные частицы, за исключением фотона, электрона, протона и обоих нейтрино, нестабильны. Это означает, что они самопроизвольно, без каких-либо внешних воздействий распадаются, превращаясь в другие частицы. Например, нейтрон самопроизвольно распадается на протон, электрон и электронное антинейтрино (n аp + e- + ?e) .
Невозможно предсказать, когда именно произойдет указанный распад того или иного конкретного нейтрона; каждый конкретный акт распада случаен. Однако если проследить за множеством актов, то обнаруживается закономерность распада. Предположим, что в момент t=0 имеется No нейтронов (No >> 1) .
Тогда к моменту t останется N(t) = No=exp (- t/?) ??йтронов, где ? ?сть некоторая постоянная характеристика для нейтрона. Ее называют “временем жизни” нейтрона; она равна 1000 с. Величина exp (- t/?) определяет вероятность для отдельного нейтрона не распасться по истечении времени t.
Каждая нестабильная элементарная частица характеризуется своим временем жизни. Чем меньше время жизни, тем больше вероятность распада частицы.
Например, время жизни мюона составляет 2,2. 10-6 с, положительно заряженного ?-мезона – 2,6. 10-8 с, нейтрального ?-мезона – 10-16 с, гиперонов – около 10-10 с. В 70-х годах были обнаружены около 100 частиц с очень малым временем жизни – 10-22 – 10-23 с, получивших название резонансов. Примечательно, что гипероны и мезоны могут распадаться различными способами. Например, положительно заряженный ?-мезон может распадаться на мюон и мюонное нейтрино (?+ а?+ +??) , на позитрон
(антиэлектрон) и электронное нейтрино (?+ аe+ +?e) , на нейтральный ?- мезон, позитрон и электронное нейтрино (?+ а?0+ +e+ +?e) . Для конкретного
?-мезона нельзя предсказать не только время распада, но и тот способ распада, который данный мезон “выберет” .
Нестабильность присуща не только элементарным частицам, но и другим микрообъектам. Явление радиоактивности (самопроизвольное превращение изотопов одного химического элемента в изотопы другого, сопровождающееся испусканием частиц) показывает, что нестабильными могут быть атомные ядра.
Атомы и молекулы в возбужденных состояниях также оказываются нестабильными: они самопроизвольно переходят в основное или менее возбужденное состояние.
Определяемая вероятностными законами нестабильность есть, наряду с наличием спина, второе сугубо специфическое свойство, присущее микрообъектам. Его также можно рассматривать как указание на некую “внутреннюю сложность” микрообъекта.
Однако нестабильность — это специфическое, но отнюдь не обязательное свойство микрообъекта. Наряду с нестабильными существует много стабильных микрообъектов: фотон, электрон, протон, нейтрино, стабильные атомные ядра, а также атомы и молекулы в основном состоянии.
Взаимопревращения микрообъектов. Глядя на схему распада нейтрона (n аp + e- + ?e) , можно предположить, что нейтрон состоит из связанных друг с другом протона, электрона и электронного антинейтрино. Такое представление ошибочно. Распад элементарной частицы отнюдь не является распадом в прямом смысле слова; это акт превращения исходной частицы в некую совокупность новых частиц: исходная частица уничтожается, новые частицы рождаются.
Несостоятельность буквального толкования термина “распад частицы” становится очевидной, если учесть, что многие частицы имеют несколько способов распада.
Картина взаимопревращений элементарных частиц оказывается существенно богаче и сложнее, если рассматривать частицы не только в свободном, но также и в связанном состоянии. Свободный протон стабилен, а свободный нейтрон распадается на по приведенной выше схеме. Если же протон и нейтрон не являются свободными, а связаны в атомном ядре, то ситуация изменяется.
Теперь имеют место следующие схемы взаимопревращений: n + ?- , p аn + ?+
(здесь ?- — отрицательно заряженный ?-мезон, являющийся античастицей по отношению к ?+-мезону) . Эти схемы хорошо иллюстрируют беспредметность выяснения того, входит ли протон в “состав” нейтрона или же, напротив, нейтрон в “состав” протона.
Повседневный опыт учит: разобрать предмет на части – значит выяснить, из чего он структурно состоит. Идея анализа (идея дробления) отражает характерную сторону классических представлений. При переходе к микрообъектам эта идея в определенной мере еще “работает” : молекула состоит из атомов, атом состоит из ядра и электронов, ядро состоит из протонов и нейтронов. Однако на этом указанная идея себя исчерпывает:
“дробление” , например, нейтрона или протона не выявляет никакой структуры этих частиц. В отношении элементарных частиц нельзя утверждать: “распад объекта на какие-либо части означает, что объект состоит из этих частей” .
Именно это обстоятельство может служить определением самого термина
“элементарная частица” .
Распады элементарных частиц далеко не исчерпывают всех происходящих взаимопревращений частиц. Не менее богата картина взаимопревращений, происходящих при столкновениях частиц. В качестве примера приведем некоторые схемы взаимопревращений при столкновении фотонов (?) с протонами и нейтронами: ?+pаn+ ?+, ?+n?p+ ?-, ?+p?p+ ?0, ?+n?n+ ?0, ?+p?p+ ?++ ?-,
?+n?n+ ?0+ +?0, ?+p?p+ p+ p (p – ?нтипротон) .
Полезно обратить внимание на то, что во всех приведенных здесь схемах сумма масс покоя конечных частиц больше массы покоя исходных. Иначе говоря, энергия сталкивающихся частиц превращается здесь в массу (согласно известной формуле E=mc2) . Эти схемы демонстрируют, в частности, бесплодность попыток расщепить элементарные частицы (в данном случае нуклоны) , “обстреливая” их другими частицами (в данном случае фотонами) : в действительности происходит не расщепление обстреливаемых частиц, но рождение новых, причем в определенной мере за счет энергии сталкивающихся частиц.
Исследование взаимопревращений элементарных частиц позволяет выяснить определенные закономерности. Эти закономерности выражают в виде законов сохранения неких величин, играющих роль определенных характеристик частиц.
В качестве простого примера укажем электрический заряд частицы. При любом взаимопревращении частиц алгебраические суммы электрических зарядов исходных и конечных частиц равны. Закон сохранения электрического заряда отражает определенную закономерность взаимопревращений частиц: он позволяет заведомо исключить из рассмотрения те схемы, где суммарный электрический заряд частиц не сохраняется.
В качестве более сложного примера укажем так называемый барионный заряд частицы. Было подмечено, что число нуклонов при превращениях частиц сохраняется. С открытием антинуклонов обнаружили, что рождение дополнительных нуклонов возможно, но обязательно в паре с антинуклонами.
Тогда была введена характеристика частицы – барионный заряд, равный нулю для фотонов, лептонов и мезонов, единице – для нуклонов, минус единице – для антинуклонов. Это позволило рассматривать замеченные закономерности как закон сохранения суммарного барионного заряда частиц. Закон подтвердился также последующими наблюдениями; при этом обнаруженным впоследствии гиперонам пришлось приписать барионный заряд, равный единице (как и нуклонам) , а антигиперонам – минус единице (как и антинуклонам) .
Универсальные динамические переменные. При переходе от макрообъектов к микрообъектам следует ожидать качественно новых ответов на вопросы: какими динамическими переменными описывается состояние объекта? как описывается его движение? Ответы на эти вопросы в существенной мере раскрывают специфику физики микрообъектов.
В классической физике используются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса. Как известно, эти законы являются следствиями определенных свойств симметрии пространства и времени. Так, закон сохранения энергии – следствие однородности времени (следствие независимости протекания физических процессов от выбора того или иного момента в качестве начала отсчета времени) ; закон сохранения импульса – следствие однородности пространства (следствие того, что все точки в пространстве физически равноправны) ; закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства (следствие того, что все направления в пространстве физически равноправны) . Для пояснения свойств симметрии пространства и времени заметим, что благодаря этим свойствам, например, законы Кеплера для движения планет вокруг Солнца не зависят от положения
Солнца в галактике, от ориентации в пространстве плоскости движения планеты, а также от того, в каком именно столетии открыты эти законы. Связь между свойствами симметрии пространства и времени и соответствующими законами сохранения означает, что энергия, импульс или момент могут рассматриваться как интегралы движения, сохранение которых есть следствие соответственно однородности времени, однородности и изоторопности пространства.
Отсутствие каких-либо экспериментальных указаний на нарушения в микроявлениях отмеченных свыше свойств симметрии пространства и времени позволяет заключить, что такие динамические переменные, как энергия, импульс, момент импульса, должны сохранять смысл и в применении к микрообъектам. Иначе говоря, связь этих динамических переменных с фундаментальными свойствами симметрии пространства и времени превращает их в универсальные переменные, т.е. переменные, имеющие “хождение” при рассмотрении самых различных явлений из самых разных областей физики.
Однако при переносе понятий энергии, импульса и момента импульса из классической физики в квантовую механику необходимо учитывать специфику микрообъектов. Вспомним в связи с этим известные выражения для энергии (Е)
, импульса (р) и момента импульса (М) классического объекта, имеющего массу m, координату r, скорость v: Е = mv2/2 + U(r) , р = mv, M = m(r . v) .
Исключая скорость, получаем отсюда соотношения, связывающие энергию, импульс и момент импульса классического объекта: E = p2/2m + U(r) , M = (r
. p) .
Если обратится к микрообъекту, то надо отметить, что вышеприведенные соотношения здесь не годятся. Иначе говоря, привычные классические связи между интегралами движения при переходе к микрообъектам становятся непригодными. Это есть первое качественно новое обстоятельство.
Для рассмотрения других качественно новых обстоятельств необходимо обратится к двум основополагающим идеям квантовой механики – идее квантования физических величин и идее корпускулярно-волнового дуализма.

2. Две основополагающие идеи квантовой механики.
Идея квантования (дискретности) . Сущность идеи квантования состоит в том, что некоторые физические величины, относящиеся к микрообъекту, могут в соответствующих условиях принимать только какие-то вполне определенные, дискретные значения. Об этих величинах говорят, что они квантуются.
Так, квантуется энергия любого микрообъекта, находящегося в связанном состоянии, например энергия электрона в атоме. Энергия же свободно движущегося микрообъекта не квантуется.

Предположим, что рассматривается энергия электрона в атоме. Дискретному набору значений энергии электрона соответствует система так называемых энергетических уровней. Рассмотрим два энергетических уровня: Е1 и Е2, как показано на рисунке 1 (по вертикальной оси откладываются значения энергии электрона) . Электрон может иметь энергию Е1 или энергию Е2 и не может Е2 иметь какую-либо “промежуточную” энергию –все значения энергии Е, удовлетворяющие неравенствам Е1 < E < E2, для него запрещены.

Е1 рис. 1 Примечательно, что дискретность энергии отнюдь не означает, что электрон “осужден” вечно находится в исходном энергетическом состоянии
(например, на уровне Е1) . Электрон может перейти на другой энергетический уровень (уровень Е2 или какой-либо другой) , получив или испустив соответствующее количество энергии. Такой переход называется квантовым переходом.
Квантомеханическая идея дискретности имеет довольно длинную предысторию.
Еще в конце XIX в. Было установлено, что спектры излучения свободных атомов являются линейчатыми (состоят из набора линий) , содержат определенные для каждого элемента линии, которые образуют упорядоченные группы (серии) . В
1885 г. было обнаружено, что атомарный водород дает излучение с частотами
?n (речь идет о циклических частотах ?, связанные с обычными частотами ? соотношением ? = 2??) , ??торые можно описать формулой ?n = 2?cR(1/4 -
1/n2) , где n – целые числа 3,4,5,... ; c – скорость света, R – постоянная
Ридберга (R=1,097 . 107 м-1) . Вышеприведенная формула установлена
Бальмером; поэтому принято называть совокупность частот, описываемую этой формулой, серией Бальмера. Частоты серии Бальмера попадают в область видимого спектра. Позднее (в начале XX в.) были открыты дополнительные серии частот излучения атомарного водорода, попадающие в ультрафиолетовую и инфракрасную части спектра. Закономерности в структуре этих серий оказались тождественными с закономерностями в структуре серии Бальмера, что позволило обобщить формулу, записав ее в виде ?n = 2?cR(1/k2 - 1/n2) .
Число k фиксирует серию, причем в каждой серии n>k; k=2 дает серию
Бальмера, k=1 – серию Лаймана (ультрафиолетовые частоты) ; k=3 – серию
Пашена (инфракрасные частоты) и т.д.
Закономерность в структуре серий была обнаружена не только в спектре атомарного водорода, но также и в спектрах других атомов. Она определенно указывала на возможность каких-то обобщений. В качестве такого обобщения
Ритц выдвинул в 1908 г. свой комбинационный принцип: “Если даны формулы серий и известны входящие в них постоянные, то путем комбинации в виде сумм и разностей можно новую открытую линию в спектре вывести из ранее известных” . В применении к водороду этот принцип следует понимать так.
Составим для разных чисел n так называемые спектральные термы: T(n) =
2?cR/n2.
Тогда каждая наблюдаемая в спектре водорода частота может быть выражена в виде комбинации каких-то двух спектральных термов. Комбинируя спектральные термы, можно предсказывать различные частоты.
Примечательно, что в это же время идея дискретности прокладывала себе путь еще в одном направлении (не имеющим отношения к спектроскопии атомов) .
Речь идет об облучении внутри замкнутого объема, или, иными словами, об излучении абсолютно черного тела. Анализируя экспериментальные данные,
Планк в 1900 г. выдвинул знаменательную гипотезу. Он предположил, что энергия электромагнитного излучения испускается стенками полости не непрерывно, а порциями (квантами) , причем энергия одного кванта равна E = h?, где ? – частота излучения, а h – некоторая универсальная постоянная
(так в физике появилась постоянная Планка) . Как известно, гипотеза Планка обеспечила согласие теории с экспериментом и, в частности, устранила неприятности, возникавшие в прежней теории при переходе к большим частотам и известные под названием “ультрафиолетовой катастрофы” .

Идея квантования и модель атома водорода по Бору. В 1913 г. Бор предложил теорию атома водорода. Эта теория возникла как результат “слияния” планетарной модели атома Резерфорда, комбинационного принципа Ритца и идеи квантования энергии Планка.
Согласно теории Бора, существуют состояния, находясь в которых атом не излучает (стационарные состояния) ; энергия этих состояний образует дискретный спектр: Е1, Е2,..., Еn,... Атом излучает (поглощает) , переходя из одного стационарного состояния в другое; излучаемая (поглощаемая) энергия есть разность энергий соответствующих стационарных состояний. Так, при переходе из состояния с энергией Еn в состояние с меньшей энергией Еk испускается квант излучения с энергией (Еn - Еk) , при этом в спектре атома появляется линия с частотой ? = (Еn - Еk) / h.
Это формула отражает знаменитое правило частот Бора.
В теории Бора n-му стационарному состоянию атома водорода соответствует круговая орбита радиуса rn, по которой электрон движется вокруг ядра. Для вычисления rn Бор предложил воспользоваться, во-первых, вторым законом
Ньютона для заряда, движущегося по окружности под действием кулоновской силы: mvn2 / rn = е2 / rn2
(здесь m и e – масса и заряд электрона, vn – скорость электрона на n-й орбите) , и, во-вторых, условием квантования момента импульса электрона mvnrn = nh.
Используя эти соотношения, легко найти rn и vn: rn = h2n2 / me2, vn = e2 / hn.
Энергия Еn стационарного состояния состоит из кинетического (Тn) и потенциального (Un) слагаемых: Еn = Тn + Un. Полагая, что Тn = mvn2 /2, Un
= = - е2 / rn и используя последние формулы, находим Еn = - me4 / 2h2n2.
Отрицательность энергии означает, что электрон находится в связанном состоянии (за нуль принимается энергия свободного электрона) .
Подставив полученный результат в правило частот и сопоставив полученное при этом выражение с формулой ?n = 2?cR(1/k2 - 1/n2) , можно, следуя Бору, найти выражение для постоянной Ридберга: R = me4 / 4?ch3.
Теория Бора (или, как теперь принято говорить, “старая квантовая теория” ) страдала внутренними противоречиями; так, для определения радиуса орбиты приходилось пользоваться соотношениями совершенно разной природы –
“классической” и “квантовой” . Тем не менее эта теория имела большое значение как первый шаг в создании последовательной квантовой теории. При этом впервые удалось объяснить природу спектральных термов (а следовательно, и комбинационного принципа Ритца) и получить расчетное значение постоянной Ридберга, которая соответствовала своему эмпирическому значению. Успехи теории говорили о плодотворности идеи квантования.
Познакомившись с расчетами Бора, Зоммерфельд написал ему письмо, где в частности писал: “Благодарю Вас за Вашу чрезвычайно интересную работу. Меня давно занимает проблема выражения постоянной Ридберга при помощи величины
Планка. Хотя в данный момент я еще скептически отношусь к моделям атомов в целом, тем не менее вычисление этой постоянной, бесспорно, является настоящим подвигом.”

О квантовании момента импульса. Заметим, что в отличие от энергии момент импульса микрообъекта квантуется всегда. Так, наблюдаемые значения квадрата момента импульса микрообъекта выражаются формулой M2 = h2l (l + 1) , где l
– целые числа 0,1,2,... Если речь о моменте импульса электрона в атоме в n- м стационарном состоянии, то число l принимает значения от нуля до n-1.
В литературе принято называть момент импульса микрообъекта для краткости просто моментом.
Проекция момента микрообъекта на некоторое направление (обозначим его как z- направление) принимает значения Mz = hm, где m=-l, -l+1,..., l-1, l. При данном значении числа l число m принимает 2l+1 дискретных значений.
Подчеркнем, что различные проекции момента микрообъекта на одно и тоже направление всегда отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной
Планка.
Выше уже отмечалось, что спин есть своеобразный, “внутренний” момент микрообъекта, имеющий для данного микрообъекта определенную величину. В отличие от спинового момента, обычный момент принято называть орбитальным.
Кинематически спиновой момент аналогичен орбитальному; естественно, что для нахождения возможных проекций спинового момента надо пользоваться формулой типа Mz = hm (как и в случае орбитального момента, проекции спинового момента отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной Планка) .
Если s – спин микрообъекта, то проекция спинового момента принимает значение h?, где ? = -s, -s+1,..., s-1, s. Так, проекция спина электрона принимает значения -h/2 и h/2.
Рассматриваемые здесь числа n, l, m, ?, фиксирующие различные дискретные значения квантующихся динамических переменных (в данном случае энергии и момента) , принято называть квантовыми числами. Конкретно: n – так называемое главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m – магнитное квантовое число, ? – спиновое квантовое число. Существуют и другие квантовые числа.
Противоречия квантовых переходов. Несмотря на большой успех теории Бора, идея квантования порождала первоначально серьезные сомнения; было подмечено, что эта идея внутренне противоречива. Так, в письме к Бору
Резерфорд писал (в 1913 г.) : “Ваши мысли относительно причин возникновения спектра водорода очень остроумны и представляются хорошо продуманными.
Однако сочетание идей Планка со старой механикой создает значительные трудности для понимания того, что же все-таки является основой такого рассмотрения. Я обнаружил серьезное затруднение в связи с Вашей гипотезой, в котором Вы, без сомнения, полностью отдаете себе отчет. Оно состоит в следующем: как может электрон знать, с какой частотой он должен колебаться, переходя из одного стационарного состояние в другое? Мне кажется, что Вы вынуждены предположить, что электрон знает заблаговременно, где он собирается остановится” .
Поясним отмеченную Резерфордом трудность. Пусть электрон находится на уровне Е1 (рис. 1) ; чтобы перейти на уровень Е2, электрон должен поглотить квант излучения (т.е. фотон) с определенной энергией, равной Е2-Е1.
Поглощение фотона с любой другой энергией не может приводить к указанному переходу и по этой причине оказывается невозможным (для простоты рассматриваем только два уровня) . Возникает вопрос: каким же образом электрон производит “выбор” “нужного” фотона из падающего потока фотона разной энергии? Ведь, чтобы “выбрать” “нужный” фотон, электрон должен уже
“знать” о втором уровне, т.е. должен как бы уже побывать на нем. Однако, чтобы побывать на втором уровне, электрон должен сначала поглотить “нужный” фотон. Возникает замкнутый круг.
Дополнительные противоречие обнаруживаются при рассмотрении скачка электрона с одной орбиты в атоме на другую. Сколь бы ни был быстр переход электрона с орбиты одного радиуса на орбиту другого радиуса, в любом случае он должен происходить в течении конечного промежутка времени. Но тогда непонятно, чему должна равняться энергия электрона в течении этого промежутка времени – ведь электрон уже не находится на орбите, которая отвечает энергии Е1, и в то же время еще не прибыл на орбиту, которая отвечает энергии Е2.
Неудивительно, что в свое время предпринимались попытки получить объяснение экспериментальных результатов без привлечения идеи квантования. В этом смысле показательно известное замечание Шредингера, вырвавшееся у него, что называется, под горячую руку: “Если мы собираемся сохранить эти проклятые квантовые скачки, то я жалею, что вообще имел дело с квантовой теорией!”
Однако опыт свидетельствовал в пользу квантования; ни для какой альтернативы не оставалось места.
В подобной ситуации есть один выход: надо ввести какие-то новые идеи, которые вместе с идеей дискретности образовывали бы непротиворечивую схему.
Такой новой физической идеей и явилась идея корпускулярно-волнового дуализма.

Идея корпускулярно-волнового дуализма. Классическая физика знакомит с двумя видами движения – корпускулярным и волновым. Для первого характерны локализация объекта в пространстве и существование определенной траектории его движения. Для второго характерно, напротив, делокализация в пространстве; с волновым движением не сопоставляет никакого локализованного объекта – это есть движение некоей среды. На уровне макроявлений корпускулярное и волновое движение четко разграничены; одно дело – движение брошенного камня, другое – движение волны, набегающей на прибрежный песок.
Эти привычные представления не могут быть перенесены в квантовую механику.
На уровне микроявлений указанное выше четкое разграничение между двумя видами движения в существенной мере стирается – движение микрообъекта характеризуется одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. Если схематически рассматривать классические корпускулы и классические волны как два предельных случая описания движения материи, то микрообъекты должны занять в этой схеме место где-то посередине. Они не являются ни “чистыми”
(в классическом понимании) корпускулами, ни “чистыми” волнами – они являются чем-то качественно иным. Можно сказать, что микрообъект в какой-то мере похож на корпускулу, в какой-то мере – на волну, причем эта мера зависит, в частности, от условий, в которых рассматривается микрообъект.
Если в классической физике корпускула и волна – две взаимоисключающие друг друга противоположности (либо частица, либо волна) , то теперь, на уровне микроявлений, эти противоположности объединяются в рамках единого микрообъекта. Это обстоятельство и принято называть корпускулярно-волновым дуализмом (“дуализм” означает двойственность) .
Первоначально идея дуализма была применена к электромагнитному излучению.
Еще в 1917г. Эйнштейн предложил рассматривать введенные Планком кванты излучения как своеобразные частицы, обладающие не только определенной энергией, но и определенным импульсом: E = h?, p = h? / c.
Позднее (с 1923 г.) эти частицы стали называть фотонами.
Весьма ярко корпускулярные свойства излучения проявились в эффекте Комптона
(1923 г.) . Пусть пучок рентгеновских лучей рассеивается на атомах вещества. По классическим представлениям рассеянные лучи должны иметь ту же длину волны, что и падающие. Однако опыт показал, что длина волны рассеянных лучей больше начальной длины волны, причем разница в длинах волн зависит от угла рассеяния. Эффект Комптона получил объяснение в предположении, что пучок рентгеновских лучей ведет себя как поток фотонов, которые испытывают упругие столкновения с электронами атомов, с выполнением закона сохранения энергии и импульса для сталкивающихся частиц. При этом достигалось не только качественное, но и количественное согласие с экспериментом.
В 1924 г. де Бройль предложил распространить идею не только на излучение, но и вообще на все микрообъекты. Конкретно, он предложил с каждым микрообъектом связывать, с одной стороны, корпускулярные характеристики
(энергию Е и импульс р.) , а с другой стороны, волновые характеристики
(частоту ? и длину волны ?) . Взаимосвязь между характеристиками разного типа осуществляются, по де Бройлю, через постоянную Планка h следующим образом: E = h?, p = 2?h / ? (??орое из этих соотношений известно как формула де Бройля) . Для фотонов эти соотношения выполняются автоматически, если в формуле p = h? / c подставить ? = =2?c / ?. ??елость гипотезы де
Бройля состояла в том, что приведенные соотношения предполагались выполняющимися для всех микрообъектов, в частности для таких, у которых есть масса покоя и которые до этого ассоциировались с корпускулами.
Гипотеза де Бройля получила в 1927 г. подтверждение: была обнаружена дифракция электронов. Исследуя прохождение электронов сквозь тонкие пластинки, Дэвисон и Джермер (а также Тартаковский) обнаружили на экране
-детекторе характерные дифракционные кольца. Для “электронных” волн кристаллическая решетка мишени сыграла роль дифракционной решетки.
Измерение расстояний между дифракционными кольцами для электронов заданной энергии подтвердили формулу де Бройля.
В 1949 г. Фабрикант с сотрудниками поставили интересный опыт. Они пропускали через дифракционное устройство крайне слабый электрический пучок
– промежуток времени между последовательными актами пропускания (между двумя электронами) более чем в 10000 раз превышал время, необходимое для прохождения электрона через устройство. Это давало уверенность, что на поведение электрона не влияют другие электроны пучка. Опыт показал, что при длительной экспозиции, позволяющей зарегистрировать на экране-детекторе достаточно большое число электронов, возникала такая же дифракционная картина, как и в случае обычных электронных пучков. Отсюда следовало, что волновые свойства электронов нельзя объяснить как некий эффект коллектива электронов; волновыми свойствами обладает каждый отдельно взятый электрон.

Роль постоянной Планка. Идея квантования вводит дискретность, а дискретность требует определения меры. Роль такой меры играет постоянная
Планка. Можно сказать, что эта постоянная как бы определяет “границу” между микроявлениями и макроявлениями. Используя постоянную Планка, а также массу и заряд электрона, можно образовать следующую простейшую композицию, обладающую размерностью длины: r1 = h2 / me2 = 0,53 . 10-8 см (заметим, что r1 есть радиус первой орбиты в теории Бора) . В соответствии с этим величина порядка 10-8 см может рассматриваться как пространственная
“граница” микроявлений. Именно таковы линейные размеры атомов.
Если бы при прочих равных условиях постоянная h была бы, например, в 100 раз больше, то “граница” микроявлений оказалась бы порядка 10-4 см. Это означало бы, что микроявления были бы гораздо ближе к нам, к нашим масштабам, атомы стали заметно крупнее. Иными словами, материя оказалась бы более “крупнозернистой” и следовало бы при более крупных масштабах пересматривать классические представления.
Как указывалось ранее, проекции момента микрообъекта отличаются друг от друга на величины, кратные h. Следовательно, здесь постоянная Планка является попросту шагом квантования. Если орбитальный момент много больше h, то квантованием можно пренебречь; в этом случае переходим к классическому моменту импульса. В отличие от орбитального спиновой момент не может быть достаточно большим. Ясно, что здесь квантованием пренебречь принципиально невозможно; именно поэтому спиновой момент и не имеет классического аналога.
Постоянная Планка органически связана не только с идеей квантования, но также и с идеей дуализма. Из формул E = h?, p = 2?h / ? ??дно, что эта по