Цилиндрические конструкции подверженные ветровым нагрузкам колеблются в
поперечном направлении (перпендикулярно направлению ветра) из-за
образования вихрей на боковых к ветру сторонах. Результатом является
образование вихревой дорожки называемой дорожкой Кармана. В определенном
диапазоне скоростей ветра и диаметров поперечного сечения цилиндрических
конструкций образование и сход вихрей происходят с постоянным периодом по
времени, следовательно на конструкцию действует периодическая возбуждающая
колебания сила. Когда частота схода вихрей приближается к одной из
собственных частот конструкции возникают резонансные колебания. Из за
изменения скорости ветра и возникновения порывов ветра появляются колебания
по направлению ветра но основной интерес представляют именно поперечные к
ветры колебания. Амплитуда резонансных колебаний будет возрастать до тех
пор пока энергия, рассеиваемая в результате демпфирования не будет равна
энергии поставляемой потоком воздуха. Таким образом конструкции обладающие
слабым демпфированием в большей степени подвержены данному эффекту.
Процесс образования вихрей на боковых по ветру поверхностях
цилиндрических конструкций зависит от чисел Рейнольдса Re. При очень малых
числах Рейнольдса течение в непосредственной близости к поверхности
цилиндра будет мало отличаться от идеального течения и образования вихрей
не будет. При несколько больших значениях (до Re = 40) течение отрывается
от поверхности и образует два симметричных вихря. Выше Re = 40 симметрия
вихрей разрушается и происходит зарождение асимметрического схода вихрей с
противоположных сторон. Диапазон от Re = 150 до 300 является переходным, в
нем течение меняется от ламинарного к турбулентному в области свободных
вихрей сорвавшихся с поверхности цилиндрической конструкции. В этом
диапазоне вихревой след периодичен, но скорость вблизи поверхности меняется
не периодично из-за турбулентности течения. Апериодичность изменения
скорости аргументируется турбулентностью природного ветра. Результатом
таких флуктуаций является то, что амплитуды подъемной или боковой силы
являются в некоторой степени случайными, эта случайность становится более
выраженной с увеличением числа Рейнольдса.
Периодичность вихревого следа характерна для диапазона от Re = 40 до
3*105. При больших числах Рейнольдса течение в пограничном слое на передней
к ветру поверхности изменяется от ламинарного к турбулентному и точка
отрыва вихрей смещается назад по потоку. В результате резко падает
коэффициент лобового сопротивления и след становится более узким и,
вероятно, апериодичным. Следовательно частота схода вихрей и амплитуда
подъемной силы становятся случайными.
Частота, с которой вихри отделяются от поверхности цилиндрической
конструкции, обычно характеризуется безразмерной величиной называемой
числом Струхаля Sh:
где n – частота отделения вихрей, d – характерный размер, V – скорость
ветра. Когда сход вихрей является периодичным, n – частота этого схода,
если же сход является случайным необходимо говорить об энергетическом
спектре, а не об одной частоте.
Спектральная плотность боковой силы (цилиндр). Нормализованная
спектральная плотность подъемной силы
по аргументу ;
Если использовать Кармановскую спектральную плотность и потребовать выполнения условия =Ёормировки , то
n – частота на графиках в герцах.
для больших чисел Re (по Фыну).
В связи с тем, что задается по частоте в [Гц], в выражении после определения передаточной функции нужно перейти к частоте в [Гц]; в формулу входит .
Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня. При
выводе уравнений поперечного колебания мы будем предполагать, что в
недеформированном состоянии упругая ось стержня прямолинейна и совпадает с
линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы
примем за координатную ось z и от нее будем отсчитывать отклонения
элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом будем считать, что
отклонение отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к
прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями
этих точек, параллельными оси.
Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных
колебаниях происходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями в
том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в
пределах пропорциональности.
При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных
колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных –
координаты z и времени t:
.
Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных
производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим
образом.
Обозначим через m(z) массу единицы длины стержня (кг*сек2/см2), через EJ
– жесткость на прогиб [ E (кг/см2) – модуль упругости, J (см4) – момент
инерции поперечного сечения стержня относительно поперечной оси. На
стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность
которой мы обозначим через .
Кинетическая энергия колеблющегося стержня есть кинетическая энергия
поперечных смещений элементов стержня
.
Потенциальная энергия равна сумме двух слагаемых: а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих
упругих сил)
; б) потенциальная энергия прогиба от поперечной нагрузки
.
Функционал S Остроградского – Гамильтона имеет здесь вид
Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для
функционала S уравнение Эйлера:
.
Решение задачи о свободных колебаниях консольно защемленной балки
с граничными условиями при z = 0:
консольное защемление при :
отсутствие перерезывающих сил и моментов на свободном конце; будет иметь вид:
- для первого тона.
(1)
примем (Метод Бубнова-Галеркина)
Тогда: где - собственная частота I-ого тона.
Здесь нет демпфирования, введем искусственно конструкционное демпфирование
(как логарифмический декремент, равен 0,005).
- случайная функция
В выражении величину
;
Интегрирование от 0 до 100
В величину частота входит в герцах, поэтому
Веса единицы объема кожуха(сталь) и футеровки
Средняя площадь футеровки и кожуха тубы
Погонная масса трубы
Аппроксимация формы при , , тогда ;
Тогда
Независимость q от нормировки f(z) связана с тем, что линейное
дифференциальное уравнение для q зависит от правой части, знаменатель
зависит от второй степени, а числитель от первой степени f(z), т.е.
(чем больше f(l), тем меньше q при )
Тогда
Уравнение для q будет иметь вид: