Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.
Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const.
(где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение получается из уравнения L = [rp]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем
Так как - есть скорость V частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом, .)
Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.
Данное уравнение можно записать в виде:
где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA’, описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через dS, можно записать величину момента в виде
Величина называется секториальной скоростью.
Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел.
Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю:
m1v1+m2v2=0,
где v1,v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц
v = v1-v2.
Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы
выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость.
Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим
где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим
,
где m обозначает величину
называемую приведенной массой частиц.
Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m двигалась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.
Постановка задачи.
Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил.
, представим (скорость) в полярных координатах
Рассмотрим треугольник ABD:
ds~AB, следовательно
,
откуда получаем
Выразим
(*)
Осталось выразить характер траектории
(**)
Подставим выражение (*) в (**)
Проинтегрируем
Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.
Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля.
, где
Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену
Сделаем замену ,
тогда
Далее применим формулу
В итоге получаем
,
где ;
Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля.
При e >1 – гипербола;
e =1 – парабола;
0< e
e =0 – окружность;
Литература:
1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г.
2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.