Материальная точка движется прямолинейно с ускорением a=5 м/с2. Определить, на сколько путь, пройденный точкой в n-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять v0=0.
Дано:
1. Путь при равноускоренном движении без
начальной скорости подсчитываем по формуле:
Пусть тогда путь за n секунду:
- за (n-1) секунд:
- за (n-2) секунд:
2. Путь за одну (n-1)-ю секунду:
Путь же за одну n-ю секунду будет равен:
Искомая разность путей:
Разность путей численно равна ускорению материальной точки.
№ 112
С тележки свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью v1=3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной u1=4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости u2X человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m1=210 кг, масса человека m2=70 кг.
Дано:
Система («Человек-тележка») замкнута (изолированная). Применим закон сохранения импульса:
то есть:
или на ось Х:
найдем U2X:
Ответ: U2x=0.
№ 122
По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m1=300 кг, ударяет молот массой m2=8 кг. Определить КПД ? удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.
Дано:
Перед ударом скорость молота была v, то кинетичес-
кая энергия молота, представляющая собой полную
механическую энергию будет:
Ввиду не упругости удара (остановка молота) эта энергия является затраченной энергией:
или
Будем считать систему (молот-наковальня с куском мягкого железа) изолированной и применим закон сохранения импульса:
т.е.
(отскакивает молот).
Скорость наковальни с железом:
и следовательно кинетическая энергия наковальни с молотом:
Имеем согласно закону сохранения энергии:
т. е.
Eдеф.- энергия, которая пошла на деформацию куска железа, откуда
то
По определению коэффициента полезного действия:
Ответ: ?=97,47%
№ 132
Из шахты глубиной h=600 м поднимают клеть массой m1=3,0 т на канате, каждый метр которого имеет массу m=1,5 кг. Какая работа А совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков КПД ? подъемного устройства?
Дано:
1. Работа по подъему клети (без троса), т.е. полезная
работа:
2. Работа по подъему троса: - длина;
- масса;
- сила тяжести;
Выделим их:
- элементарная работа по равномерному
подъему (внешняя сила равна силе тяжести
элемента троса на высоту будет равна:
где где - плотность троса (линейная),
она задана.
Интегрируем:
3. Вся затраченная работа (общая работа по подъему клети с тросом):
4. КПД подъемного устройства:
т.е.
Ответ:
№ 142
По касательной к шкифу маховика в виде диска диаметром D=75 см и массой m=40 кг приложена сила F=1 кН. Определить угловое ускорение ? и частоту вращения n маховика через время t=10 с после начала действия силы, если радиус r шкифа равен 12 см. Силой трения пренебречь.
Дано:
1. По второму закону Ньютона:
где - сила инерции маховика диска.
.
2. При равномерном вращении:
Разгон маховика начался из состояния покоя, . Получаем:
где связана с частотой вращения
,
получаем:
Ответ:
.
№ 152
На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью w1=4 рад/с. С какой угловой скоростью w2 будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I=5 кг?м2. Длина стержня l=1,8 м, масса m=6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.
Дано:
1. Закон сохранения момента импульса твердого
тела будет иметь вид:
, откуда
, (1)
где и
(2)
3. Вычисляем момент инерции стержня относительно вертикальной оси, которая проходит через середину стержня:
Элементарная масса принята за материальную точку, для нее:
, где и где
(S-поперечное сечение стержня)
.
Таким образом:
.
Интегрируя, получаем:
(- плотность материала стержня)
Выразим ее:
Подставим в (2):
Подставим в (1):
Ответ:
№ 162
Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m=2 кг: 1) с высоты h=1000 км; 2) из бесконечности?
Дано:
Эл. Работа гравитац. силы на отрезке пути
где
т.е.
откуда интегрированием получаем:
При
Ответ:
№ 172
Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых x=A1sin?1t и y=A2cos?2t, где А1=8 см,
А2=4 см, ?1=?2=2 с-1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.
Дано:
1. (1)
(2)
Возведем в квадрат:
Сложим почленно:
- траекторией точки является эллипс с полуосями: а=8, в=4
2. Установим направление движения координаты точек в момент времени и, например,
По уравнениям (1) и (2):
==> по часовой стрелке.