Проблема анализа доходности финансовых операций
Курсовая работа по дисциплине «Теоретические основы финансового менеджмента»
Выполнила студентка III курса очного отделения экономического факультета, гр. 131, Городенко Ю. Н.
Московский институт экономики, политики и права.
Москва-2000.
1. Полная доходность и баланс финансово – кредитной операции. [1]
Успех в осуществлении финансово-кредитной деятельности непосредственно зависит от верного определения соотношения между количеством вложенных в операцию средств и их отдачей. Доходы от финансовых операций и различных коммерческих сделок могут иметь различную форму: проценты от выдачи ссуд, комиссионные, дисконт при учете векселей, доходы от облигаций и других ценных бумаг. Часто, в одной операции возможны несколько источников дохода, например, владелец облигации помимо процентов получает разницу между выкупной ценой облигации и ценой ее приобретения. В связи с этим возникает проблема измерения доходности финансовых операций с учетом всех источников поступлений, причем такая обобщенная характеристика должна быть сопоставимой и применимой к любым видам операций и ценных бумаг. Степень финансовой эффективности (доходности) этих операций обычно измеряется в виде годовой ставки процентов – сложной или простой, искомые показатели получают исходя из общего принципа – все вложения и доходы, с учетом конкретного их вида, условно приравниваются эквивалентной ссудной операции.
Решение проблемы измерения и сравнения степени доходности операций заключается в разработке методик расчета условной годовой ставки для каждого вида операций с учетом особенностей соответствующих контрактов и условий их выполнения, которые непосредственно влияют на финансовую эффективность.
Расчетная процентная ставка, о которой идет речь, получила различные названия: эффективная в депозитных и ссудных операциях, полной доходностью в расчетах по оценке облигаций. Мы будем использовать название «полная доходность».
Начисление процентов на вложенные финансовые средства по ставке, равной ПД, обеспечит выплату всех предусмотренных платежей (например, равенство цены приобретения облигации сумме дисконтированных по ПД купонных платежей и выкупной цене, либо равенство действительной суммы кредита ( за вычетом комиссионных) сумме дисконтированных поступлений). Чем выше ПД, тем выше эффективность операции.
Контур операции (см. рис. 1 в конце) позволяет составить уравнение, балансирующее вложение средств и отдачу от них.
Для данного случая получим следующие размеры задолженности после уплаты R1 и R2:
К1 = К0 qt1– R1; K2 =K1qt2 – R2 ,
где qt = (1 + i) t - множитель наращения, i – ставка процентов по кредиту.
Легко убедиться, что баланс кредита и погасительных платежей достигается, когда последний платеж замыкает контур :
K2qt3 - R3 = 0.
Определим К2 через К0 и подставим полученный результат в балансовое уравнение:
[( К0 qt1– R1) qt2 – R2 ]qt3 - R3 = 0,
в случае, когда число временных интервалов больше трех, выражение приобретает следующий вид:
1) К0 qT – (R1 qt2+ t3 +R2 qt3 +R3) = 0, где Т = Stj
Здесь ясно показано, что кредитная операция при применении сложных процентов может быть представлена в виде двух встречных процессов: наращение первоначальной задолженности за весь период и наращение погасительных платежей за срок от момента платежа и до конца срока операции – метод встречных операций.
Сумма современных величин погасительных платежей на момент выдачи кредита равна при полной сбалансированности платежей сумме этого кредита:
К0 – (R1v t1 +R2Vt1+ t2+R3 vT) = 0.
Обобщим выражение 1) для случая с n погасительными платежами:
К0 qT –S Rj qTj = 0, где j= 1,2, …,n; Tj – время от момента платежа Rj до конца срока.
В случае, когда процентная ставка изменяется во времени (допустим, на каждом шаге), то можно записать:
K0qt11 qt22 … qtnn –( R1 qT11+R2 qT22 + …+ RnqTnn) =0,
где Т1 = Stк, где к= 2,…. n ; Т2 = Stк, где к = 3,…n ;
Данные балансовые уравнения позволяют решить несколько важных задач: измерить доходность от операции и распределить получаемый доход по их источникам и периодам, предусматриваемым условиями контракта, или по календарным отрезкам времени. Для этого, однако, надо разработать балансовые уравнения, в которых наращение производится по неизвестной ставке, характеризующей полную доходность.
2.1. Ссудные операции с удержанием комиссионных. [2]
За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные , которые заметно повышают доходность операции, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается. Допустим, ссуда D выдана на срок n, удерживаемые при выдаче комиссионные G. Следовательно, фактически выданная ссуда равна D-G. Сделка предусматривает начисление простых процентов по ставке i. При определении доходности этой операции в виде годовой ставки сложных процентов iэ исходим из того, что наращение величины D-G по этой ставке должно дать тот же результат, что и наращение D по ставке i.
Балансовое уравнение запишем в виде :
(D-G) (1+ iэ)n = D(1+ni)
Пусть G = (D – g), где g – относительная величина комиссионных в сумме кредита, тогда(см. рис. 2 в конце):
2) Iэ = n Ö((1+ni)/(1-g)) – 1
Полученный показатель доходности можно интерпретировать как скорректированную цену кредита. При расчете показателей доходности временную базу положим равной 365 дням, а при начислении процентов на сумму ссуды полагаем, что К = 360, либо 365 дней.
Предположим, что необходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов (i эп), в этом случае находим:
3) iэп=(1+ni)/((1-g)n)-1 /n
Рассмотрим пример[3] №1:
При выдаче ссуды на 200 дней под 7% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,4% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? (К = 365)
Применив формулу 2) находим:
Iэ = 200/365Ö(1+200*0,07/365)/(1-0,4/100)-1=0,0789 или 7,89%
Если ссуда выдается под сложные проценты, то исходное уравнение для определения iэ имеет вид:
(D-G)(1+iэ)n = D(1+i) n
Следовательно:
4) iэ = (1+i)/(nÖ(1-g) ) -1
Пример №2
В какой мере удержание комиссионных из расчета 1,5% суммы кредита увеличивает эффективность ссуды для кредитора при пяти- и десятилетнем сроке?
Находим:
1/( 5Ö(1-0,015))=1,003, т. е. на 0,3%;
1/( 10Ö(1-0,015))=1,0015, т. е. на 0,15%.
2. 2. Доходность учетных операций с удержанием комиссионных. [4]
Если доход извлекается из операции учета по простой учетной ставке, то эффективность сделки без удержания комиссионных определяется по формуле эквивалентной ставки.
При удержании комиссионных и дисконта заемщик получает сумму D-Dnb-G. Если дисконт определяется по ставке простых процентов, то эта сумма составит D(1 – nd-g). (см. рис. 3 в конце).
Балансовое уравнение в данном случае имеет вид:
D(1-nd-g)(1+iэ)n=D
Þ5) iэ= nÖ(1/(1-nd-g)) – 1,
где n – срок, определяемый при учете долгового обязательства.
Для полного показателя доходности в виде iэп находим:
6) iэп = (1/((1- nd-g)n)) – 1/n
Пример №4: Вексель учтен по ставке d = 8,5% за 170 дней до его оплаты. При выполнении операции учета векселя с владельца были удержаны комиссионные в размере 0,4%. Доходность операции в этом случае, при условии, что временная база учета 360 дней, составит:
iэ =170/365 Ö(1/(1-(170*0,085/360)-0,004)) –1=0,1018, т. е. 10,18%
3. Доходность купли-продажи финансовых инструментов. [5]
Краткосрочные финансовые инструменты , такие как векселя, тратты, депозитные сертификаты, могут быть проданы до наступления срока их оплаты, что может приносить доход или убыток.
3. 1. Покупка и продажа векселя.
Эффективность от операции с векселями можно измерить в виде простых и сложных процентов. Результат операции зависит от разности цен купли-продажи, что определяется сроками этих актов до погашения векселя и уровнем учетных ставок.
Если номинал векселя Sрублей, учетная ставка d1, покупка, или учет, состоялась за д1 дней до наступления срока, то цена в момент покупки составила:
Р1 = S( 1- д1* d1/К), где К –временная база учета.
Продажа была осуществлена за д2 до погашения с дисконтированием по ставке d2
Р2 = S( 1- д2* d2/К)
Для простой ставки iэп получим следующее балансовое уравнение:
7) Р1( 1+ (д1- д2 )*iэп/К) = Р2
8) Þ iэп =( (Р2 - Р1)/ Р1)*К/( д1- д2)
Для того, чтобы операция не была убыточной, необходимо , чтобы :
д2* d2< д1* d1 или Р1 < Р2.
Если используется сложная ставка процента, то, при К=365, на основе балансового уравнения Р1( 1+iэ) (д1- д2 )/365= Р2,
получим iэ = (Р2 /Р1) 365/ (д1- д2 )-1
Þоперация доходна, пока d2< д1 /д2* d1.
Пример №5:Вексель куплен за 175 дней до его погашения, учетная ставка – 5%. Через 42 дня его реализовали по учетной ставке 4,67%. Эффективность, выраженная в виде простой годовой ставки процентов(временная база учета =360, наращения = 365), составит:
iэп = (((1-133*0,0467/360)/(1-175*0,05/360))-1)*365/42= 0,0628.
Эффективность операции, измеренная в виде эквивалентной ставки сложных процентов, равна:
iэ= (1+42*0,0628/365)365/42-1=0,0646.
Для того, чтобы операция купли-продажи принесла некоторый доход, учетная ставка d2 должна быть меньше, чем:
175*0,05/133=0,0658.
5
3. 2. Операции с финансовыми инструментами, приносящими простые проценты.
Финансовая эффективность сделок с депозитными сертификатами и другими краткосрочными финансовыми инструментами зависит от сроков актов купли-продажи до погашения, цен или процентных ставок, существующих на денежном рынке в момент совершения операции.
Наиболее распространенным видом депозитного сертификата является сертификат с разовой выплатой процентов. Возможны следующие варианты совершения операции по срокам:
1-покупается по номиналу, продается за д2 дней до погашения,
2-покупается после выпуска и погашается в конце срока,
3-покупается и продается в пределах объявленного срока.
1) Р1( 1+ (д1- д2 )*iэп/К) = Р2,
Здесь: Р1-номинал, Р2-цена продажи, д1, д2-сроки до погашения.
Если в качестве исходных параметров берутся процентные ставки i1 и i2(объявленная ставка сертификата и ставка рынка в момент продажи),то:
iэп = (((1+ д1* i1/К)/ (1+ д2* i2/К))-1)* К/(д1- д2 )
Если расчет основан на уровнях процентных ставок, то:
iэ=((К+ д1* i1) /( К+ д2* i2))365/(д1- д2 )-1.
Þв данном случае, инвестор получит доход только, если:
i2< д1* i1 / д2.
2) Р2(1+ д2* iэп/К) = Р1(1+ д1* i/К), где Р1-номинал, Р2-цена приобретения,i – объявленная процентная ставка. (см. рис. 4 в конце)
Из приведенного равенства получим значение iэп при заданной величине Р2:
iэп = (Р1 (1+ д1* i1/К)/ Р2-1)*К/ д2
Если в качестве измерителя эффективности принята ставка сложных процентов, то :
iэ=(Р1 (1+ д1* i/К)/ Р2)365/ д2-1
3) В данном варианте покупка производится спустя некоторое время после выпуска сертификата, а его продажа – до момента погашения.
На результат здесь влияют как срок владения инструментом, так и колебания процентных ставок.
Пример[6] №6:Сертификат был куплен за 140 дней до его выкупа за 1300 тыс. рублей. Инструмент был продан за 1400 тыс. рублей через 80 дней. Какова доходность операции, измеренная в виде простой и сложной ставок?
К = 365,
iэп=(1400-1300)/1300*(365/80)=0,351, т. е. 35,1%
Эквивалентная сложная ставка равна:
iэ=(1+80*0,351/365)365/80 –1=0,402, т. е. 40,2%
Величину i можно определить и непосредственно по формуле:
iэ=(1400/1300)365/80-1=0,402.
6
Пример№7:Сертификат с номиналом 230 тыс. рублей с объявленной доходностью 11%годовых ( в виде простых процентов) сроком 750 дней
куплен за 250 тыс. рублей за 260 дней до его оплаты. Какова доходность инвестиций в виде iэ?
Если временная база К=360 дней, то по формуле получим:
iэ=(230/250(1+(750*0,11/360)))365/260-1=0,1884 т. е. 18,84%.
4. Доходность потребительского кредита. [7]
Одной из распространенных форм кредитования являются потребительские кредиты – это краткосрочные ссуды, проценты на которые начисляются один раз на весь капитали за полный срок а выплаты производятся равными долями(постоянная р-срочная рента).
Реальная доходность такого вида ссуды в виде годовой ставки сложных процентов на инвестированные в операцию средства должна определяться с учетом фактического остатка задолженности после каждого платежа по кредиту. Таким образом, оценка искомойставки сводится к расчету коэффициента приведения такой ренты по данным, характеризующим условия потребительского кредита. Затем, на основе полученного коэффициента приведения рассчитывается искомая ставка.
Должник каждый раз в счет погашения выплачивает сумму
Y=D(1+ni)/рn.
Годовая сумма платежей равна:
Yр= D(1+ni)/n
Приравняем современную величину платежей (дисконтируя по неизвестной ставке iэ) сумме долга:
D= Yрa(р)n;iэ
Þa(р)n;iэ=n/(1+ni), где i – ставка простого процнта, принятого при расчете задолженности по потребительскому кредиту.
Рассчитанная ставка годовых сложных процентов заметно больше ставки, примененной при кредитовании.
Доходность потребительского кредита в виде годовой ставки сложных процентов:
Годовая ставка за кредит
Число лет кредита
4
5
8
3
7,8
9,7
15,6
4
7,6
9,5
15,4
5
7,5
9,2
15,1
Пример№8:Потребительский кредит выдан на 4 года на сумму 15 тысяч рублей по ставке 11% годовых. Общая сумма задолженности составит
15 000(1+4*0,11)=21 600
Погасительные платежи образуют постоянную ренту, коэффициент приведения которой:
7
а(12)4;iэ=4/1,44=2,7778
Найдем по формуле интерполяции приближенное значение ставки сложных процентов:
i = iн + (а-ан)/(ав-ан)*(iв-iн)
ан=2,588734568; ав=2,854978363
Þ0,15 +(2,7778-2,588734568)/( 2,854978363-2,588734568)*(0,2-0,15)=0,1855, т. е. 18,55%.
5 Долгосрочные ссуды. [8]
5. 1Ссуды с периодической выплатой процентов.
Пусть ссуда D погашается через n-лет, проценты по простой процентной ставке i выплачиваются регулярно в конце года
Проценты в таком случае равны Di. Должнику с учетом комиссионных выдается ссуда в размере D (1-g). Балансовое уравнение, полученное дисконтированием всех платежей по неизвестной ставке iэ, имеет вид
D(1-g) – (DiSvj +Dvn)=0 , Snj=1
Здесь v=(1+iэ)-1, Svj= an;iэ
Это уравнение можно представить в виде функции от iэ следующим образом:
f(iэ)= vn+ian;iэ-(1-g)=0
Если проценты выплачиваются р-раз в году, то
f(iэ)= vn+(i/р)a(р)n;iэ-(1-g)=0
Пример№9:На три года выдана ссуда в 1млн. рублей под 10%годовых, проценты выплачиваются ежегодно. При выдаче ссуды сделана скидка в пользу владельца денег в размере 5%. В результате должник получил950000. Для расчета искомой ставки iэ сразу можно написать функцию:
f(iэ)=(1+iэ)-3-0,1* a3;iэ-0,95=0
Решение, например методом Ньютона-Рафсона или простым подбором, дает iэ = 1,12088. Таким образом, доходность операции для кредитора и соответственно цена кредита для должника в виде годовой ставки сложных процентов равны 12,088%.
Проверка:долг в размере950000 вырастет за первый год до 950*1,12088=1064,84, после первой уплаты задолженность составит 964,68; на конец второго года имеем 964,849*1,12088-100=981,47 и , наконец, в последнем году сумма, подлежащая уплате, равна 981,47*1,12088=110тыс. рублей.
5. 2 Ссуды с периодическими расходами по долгу.
Допустим, что по ссуде периодически выплачиваются проценты и погашается основной долг, причем сумма расходов постоянна. Тогда балансовое уравнение для случая, когда платежи производятся в конце года, можно представить в виде:
D(1-g)-Ran;iэ =0, где R-срочная уплата.
Т. к. R=D/ an;i, то f(iэ)=an;iэ -an;i(1-g)=0
Если платежи осуществляются р-раз в году, то: f(iэ)=a(р)n;iэ -a(р)n;i(1-g)=0
,где a(р)n;iэ ,a(р)n;i-коэффициенты приведения годовой р-срочной ренты, члены которой равны расходам должника по ссуде.
Пример№10: Пусть в примере 9 задолженность погашается равными платежами. Все остальные условия не изменяются, тогда:
a3;iэ=a3;10(1-0,05)-2,48685*0,95=2,36251.
Расчет iэ по заданному значению можно легко осуществить с помощью линейной интерполяции. Т. к. iэ>10%, то примем iв=13%, а iн=12%.
Из таблицы коэффициентов приведения a3;i2=2,38134, a3;iэ=2,36115
Интерполяционное значение ставки:
iэ=12+(2,38134-2,36251)/(2,38134-2,36115)*(13-12)=12,933%
5. 3 Нерегулярный поток платежей.
Задолженность может быть погашена путем выплаты нерегулярного потока платежей:R1,… Rn.
Эффективность кредита при таком способе погашения определим на основе следующего уравнения, балансирующего вложение и отдачи:
f(iэ)=D(1-g)-SRjvtj=0, где tj- интервал от начала сделки до момента выплаты j-го погасительного платежа. Из условия сбалансированности сделки находим, применяя договорную ставку i, величину последнего взноса:
Rn=DqT-SRjqTj, где q=1+iэ;
Т=S Тj, Тj- срок выплаты j-го платежа до конца сделки.
6 Доходность облигаций[9] .
Облигации являются наиболее распространенным видом ценных бумаг с фиксированным доходом. Эмитентами облигаций могут быть государство, крупные компании и корпорации, банки и другие финансовые учреждения. Основными параметрами облигаций являются:номинальная цена(N), выкупная цена или правило ее определения, если она отличается от номинала, дата погашения, норма доходности( купонная процентная ставка), даты выплат процентов и погашения.
Т. к. номиналы разных облигаций различаются, то возникает необходимость в сопоставимом измерителе рыночных цен. Курс облигации и выполняет эту функцию, т. е. курсом называют цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала: К=(Р/N)*100, где К- курс облигации, Р-рыночная цена,N –номинал облигации.
При анализе доходности облигаций различают следующие ее виды:
1-купонная доходность – определяется при выпуске облигаций(g),
2-текущая доходность – отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации(it),
3-полная доходность – измеряет реальную эффективность инвестиций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов(i).
6. 1 Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов.
Текущая доходность, как сказано выше, находится следующим образом:
it=gN/P=g*100/К.
Полная доходность: т. к. доход по купонам является единственным источником текущих поступлений, то полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда вылаты по купонам ежегодные, но, если проценты выплачиваются р – раз в году(по норме g/р), то из уравнения эффективной ставки i = (1+j/m)m-1, получим:
i = (1+(g/р)*(100/К))р-1=(1+ it/р) р –1
Пример№11:Вечная рента, приносящая 3% дохода, куплена по курсу 85. Какова финансовая эффективность инвестиций, при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально(р=4)?
i=it=0,03*100/85=0,0353, i=(1+0,0353/4)4-1=0,3577.
6. 2 Облигации без выплаты процентов.
В данном случае, доход поступает к владельцу облигации в виде разницы между номиналом и ценой приобретения. Курс такой облигации меньше 100, а для определения ставки помещения приравняем современную стоимость номинала цене приобретения: Nnn=P, или nn =К/100, где n – срок до выкупа облигации, после этого получим:i=1/( nÖ(К/100))-1.
Пример№12:МДМ-банк выпустил облигации с нулевым купоном с погашением через 4 года по курсу реализации-67, доходность облигации в данном случае составит: i=1/( 5Ö(67/100))-1=0,08339, т. е. облигация обеспечивает инвестору 8,34% годового дохода.
6. 3 Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока.
В данном случае проценты начисляются за весь срок и выплачиваются одной суммой вместе с номиналом, купонный доход отсутствует, поэтому текущую доходность можно считать нулевой.
Полная доходность находится путем приравнивания современной стоимости дохода цене облигации: (1+g)nNnn=P, или ((1+g)/ (1+i)) n=К/100, Þ i=(((1+g)/(nÖ(К/100))-1.
6. 4 Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока.
Владелец данного вида облигаций получает все три показателя доходности.
Текущая доходность рассчитывается по формуле it=gN/P=g*100/К.
Что касается полной доходности, то для ее вычисления необходимо приравнять к цене облигации современную стоимость всех поступлений. Дисконтированная величина номинала-Nnn , тк. поступления по купонам – постоянная рента постнумерандо, то член такой ренты – gN, а современная стоимость составит gNаn,i , или gNа(р)n,i. В итоге получим следующие равенства: Р=Nnn +gNSnt =Nnn +gNаn,i
Разделив на N, находим: К/100=nn +gаn,i, где nn- дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения, в зарубежной же практике применяетсяноминальная годовая ставка помещения, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается равным числу выплат купонного дохода, тогда (i-номинальная годовая ставка,pn-общее количество купонных выплат,g-годовой процент выплат по купонам):
К/100=(1+i/р)-рn+g/рS(1+i/р)-1=nрn+g/р аn,i/р, далее искомые значения ставки находят приближенными методами (например, интерполяции). Используется так же и метод приближенной оценки:
i@((g+(1-К/100))n)/((1+К/100)/2).
6. 5 Облигации с выкупной ценой, отличающейся от номинала.
Это случай, когда проценты начисляются на сумму номинала, а прирост капитала равен С-Р, где С-выкупная цена. Поэтому формулы Р= Nnn +gNаn,i и К/100=nn +gаn,i, приобретут следующий вид: Р= Сnn +gNаn,i и К/100=С/Nnn +gаn,i
А формула метода приближенной оценки приобретет вид:
i@((g+((С/N)-К/100))n)/(((С/N)+К/100)/2).
7 Сравнение коммерческих контрактов. [10]
При осуществлении коммерческой деятельности, часто приходится делать выбор между несколькими вариантами сделки, т. к. более низкая цена товара может «компенсироваться» невыгодными для покупателя условиями кредитования ( в данном случае кредитор и продавец рассматриваются как один контрагент, хотя они могут быть и независимыми участниками). Для сравнения условий контрактов используют следующие методы: «классический» подход -задача Клаузберга, и метод, основанный на расчете предельных значений параметров соглашений.
При использовании первого метода, сравниваются современные величины всех платежей, предусмотренных в контракте ( обычно все платежи приводят к моменту времени, в который начинается действие контракта). Современную величину расходов можно трактовать как денежную сумму, которая вместе с начисленными на нее процентами обеспечит все оговоренные в контракте платежи, следовательно, предпочтительнее для должника вариант с меньшей величиной. Дисконтирование проводится по ставке сравнения, которая устанавливается, исходя из экономического прогноза. В зарубежной практике, например, ориентируются на существующий или ожидаемый усредненный уровень ссудного процента. Ставка сравнения отличается от предусмотренных в контракте ставок по кредитам.
Второй метод сравнения легко показать на примере: существует два варианта покупки товара в кредит, первый поставщик продает по цене С1, ставка за кредит i1,Если один из параметров сделки у второго поставщика (С2,i2)не объявлен, то есть возможность определить его максимальное значение, при
котором второй контракт будет конкурентоспособен. Например, С1