I. Введение.
II. Теоретическая часть по теме предельная производительность.
III. Используемая литература.
ВВЕДЕНИЕ
Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как "черный ящик", на вход которого поступают ресурсы R1, ..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1, ...Хм.
В качестве ресурсов (факторов производства) на макро уровне наиболее часто рассматривается накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовойвыпуск и обозначать Х, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход.
Выбор того или иного состава К определяется целью исследования, а также характером развитияпроизводственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды.
Производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянно в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Далее К будем называть фондами.
Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ
X=F(K, L),
т.е. выпуск (продукция) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).
Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям.
В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:
XK ?? L??
X0 K0L0
(1)
Где Х0, К0, L0 - значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.
Безразмерная форма (1) легко приводится к первоначальному виду
Х0
Х=K??L?? = AK??L??
К0????L0???
Х0
Таким образом, коэффициентА =получает естественную
К0???L???
интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском.
Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через X, K, L, то ПФ в форме (1)записывается так:
X=K?? L??(2)
Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ (2) .Напомним, что эффективность - это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К и настоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателя эффективности:
ХХ
- фондоотдача,- производительность труда.
К L
Посколькучастные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так какПФ выраженав мультипликативной форме, то и среднееестественновзять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ "ПРЕДЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ"
Хотя предметмикроэкономической теории производства иной - проблемы производственной деятельности предприятий, ход рассуждений здесь очень близок к теории потребления. Функциям полезности и кривым безразличия, описывающим потребление, соответствуют и изокванты, описывающие производство. Более того, свойства этих функций и формы кривых одинаковы. Следовательно, в программах построения графиков кривыхбезразличия и приближенных вычисленияпо методу численного дифференцирования, составленных для исследования потребления, достаточно поменять лишь заголовки, названия переменных и определения функций, чтобы применить весь арсенал уже имеющихся у нас средств для анализа производства.
Начнем с того, что определим производственную деятельность как процесс, в ходе которого предприятия затрачивают различные ресурсы - вещественные блага и услуги (факторы производства), например труд и капитальное оборудование, и в результате выпускают разнообразную, ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной точкой микроэкономической теории производства является идея о том, что технологически эффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой для выпуска, например, одного вида продукции Y затрачивается два вида ресурсов Х1, Х2,может быть описана с помощью производственной функции Y=F(X1, X2). Если для фиксированного выпуска Y изобразить на плоскости (Х1, Х2) все возможные сочетания необходимых ресурсов (Х1, Х2), мы получим кривую, называемую изоквантой. Так же как и для функций полезности и кривых безразличия, можно выделить, по крайней мере, четыре типа производственных функций и изоквант.
1. Функции с полным взаимозамещением ресурсов, например,
Y=a1X1+a2X2
2. Неоклассическая производственная функция, например,
Y=X1a1X2a2, a1+a2
3. Функции с полным взаимодополнением ресурсов, например,
4. Функции смешанного типа, например,
Y=y1+y2 : Xi=>aiy1+biy2, i=1,2.
Не трудно заметить, что формы этих функций полностью совпадают с формами функций полезности. Если говорить о неоклассической производственной функции, то понятию предельной полезности из теориипотребления и теории производства соответствует понятие предельной производительности (dY/dXi), которое является здесь одним из ключевых. Законы же убывающей предельной полезности и убывающей предельной нормы замещения, потребительских благ в теории производства сформулировонны как закон убывающей предельной нормы взаимного замещения ресурсов. Первый из них гласит, что при росте затрат одного из ресурсов (первого или второго) его предельная производительность, dY/dX1 или dY/dX2 , падает. Если представить этот факт в виде формулы, то мы получим:
d2Y/dXi2
Предельная норма замещения (MRS) ресурсов - это предельное отношение замены первого ресурса вторым, - dX2/dX1, в ситуации, когда при постоянном выпуске Y сокращение затрат первого ресурса на - dX1 компенсируется ростом затрат второго ресурса на dX2. Подобно теории потребления, это отношение равно отношению частных производных проиизводственной функции, т.е. предельных производительностей ресурсов:
dX2dY/dX1
MRS = -Y = const =
dX1dY/dX2
Изокванты неоклассической функции, так-же как и кривые безразличия, являются гладкими вогнутыми кривыми, а предельная норма замещения ресурсов постепенно убывает.
ОПИСАНИЕ и СОСТАВЛЕНИЕПРОГРАММЫ
Составим программу (MARG2), позволяющую при фиксированном значении производственной функции Y = F(X1,X2) вычислить предельную производительность каждого из ресурсов, а также предельную норму замещения ресурсов. В качестве конкретной производственной функции возьмем функцию Кобба-Дугласа:
Y = X13/4 X21/4.
Список переменных:
X1 = X1; X2 = X2 ;
MR = MRS - предельная норма замещения;
D1 = dY/dX1 ; D2 = dY/dX2;
H - шаг дифференцирования (h).
Производственнаяфункця Кобба-Дугласа - самая извесная из всех производственных функций неклассического типа - была открыта в 20-х годах нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В эту программу включена производственная функция, оценненая Дуглосом на основе данных по обрабатывающей промышленности США. Y - индекс производства, X1 и X2- соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования. Если считать, что Х1 и Х2 - это затраты труда и капитала, то используя производственную функцию Кобба - Дугласа Y = AX1?X21????????? предельную производительность и предельную норму замещения можно представить следующим образом:
Предельная производительность труда:dY/dX1 = ?A(X2/X1)???.
Предельная производительность капитала:dY/dY2 = (1 - ?) A (X1/X2)?
dY/dX1?????????????X2
Предельная норма замещения:MRS ==*
dY/dX21-???????????X1
В микроэкономическойтеории производства считается, что предельная производительность труда равна цене труда (заработной плате) , а предельная производительность капитала - цене услуг капитальных благ (рентным платежам).
Предпосылкой для токого вывода является то, что предприятия составляют свои производственные планы (Y, X1 , X2), руководствуясь прежде всего принципом максимизации прибыли. Если обозначить через р, q1 и q2 соответственно цены продукции, первого и второго ресурсов, то оптимальным производственным планом для предприятия будет решение (Y* , X1* , X2*) задачи максимизации прибылиП = pY - q1X1 - q2X2 при ограниченииY = F (X1 , X2). Выполнив необходимые подстановки, имеемП = pF(X1 , X2) - q1X1 - q2X2. Продифференцировав это варажение по каждому из факторов производства, получим формальное подтверждение сделанному ранее выводу.
Иными словами, поскольку
dП/dX1 = p * dF/dX1 - q1 = 0,
dП/dX2 = p * dF/dX2 - q2 = 0,
то сократив р, убеждаемся, что
dF / dX1q1
=
dF / dX2 q2
100 ' предельные вычисления2[MARG2]
110 CLR:PRINT "предельная норма замещения ресурсов производства"
120 DEF FN F(X1,X2)=X1^.75*X2^.25
130PRINT"Y = X1^0.75 * X2^0.25":PRINT
140 H = .001
150 INPUT "Y=";Y
160 INPUT "X1=";X1
170 X2=(Y/(X1^.75))^(1/.25)
180 PRINT "X2=";X2
190 Y=FN F(X1,X2)
200 D1=(FN F(X1+H,X2)-Y)/H
210 D2=(FN F(X1,X2+H)-Y)/H
220 MR=D1/D2
230 PRINT"------РЕЗУЛЬТАТ------
240 PRINT"dY/dX1=";D1
250 PRINT"dY/dX2=";D2
260 PRINT"MRS =";MR:PRINT
270 GOTO 160
Предельная норма замещения ресурсов производства
Y=X1^0.75 * X2^0.25
Y= 10
X1= 8
X2= 19.53125
------РЕЗУЛЬТАТ------
dY/dX1 =.9365081
dY/dX2 =.1277924
MRS = 7.328358
X1= 13
X2= 10
------РЕЗУЛЬТАТ------
dY/dX1 =.7505416
dY/dX2 =.2503164
MRS = 2.992395
X1= 12
X2= 5.787036
------РЕЗУЛЬТАТ------
dY/dX1 =.626564
dY/dX2 =.4320145
MRS = 1.450331
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
* В.А. Колемаев "Математическая экономика" Москва, ЮНИТИ 1998.
* О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных "Математические методы в экономике" Москва, ДИС 1997
* ''Математическая экономика на персональном компьютере''под редакциейКубонива.Москва, ''Финансы и статистика''1997