Актуальність роботи.
В нинішній час економіка України наражається на важкі деформації, падає виробництво, росте безробіття, має місце інфляція. Для того, щоб виправити ситуацію,що склалася на Україні необхідно побудова реальних моделей, за допомогою яких можна достатньо точно прогнозувати економічні процеси.
В нашій роботі ми вжили спробу побудови однієї з таких моделей.
Наукова новизна.
В нашій роботі ми використали засоби математичної статистики, теоретичного аналізу, теорії імовірності, системного аналізу, економетрії. Ми зробили першу спробу побудови економетричної моделі України.
Ми показали, як застосовуючи засоби економетрії можливо управляти економікою і розглянули відзнаки між регресійним аналізом і побудовою економетричної моделі.
Практична цінність.
В нашій моделі ми спробували відбити процеси, зв'язані з виробництвом, і побудували економетричну модель, показали, що можна прорахувати коефіціенти цієї моделі. Однак зараз склалася така ситуація, при якій не уміють цінувати інформацію, їй приділяється мало уваги, хоча за рубіжем вже давно навчилися її цінувати і до неї відносяться як до дуже дорогого товару. В зв'язку з цим у нас склалася ситуація інформаційного «голоду». Тому нам не вистачало статистичних даних. Ми маємо надію, що в найближчий час на Україні будуть розвиватися комп'ютерні технології і програмні продукти, буде приділятися більше уваги побудові економетричних моделей і їхньому використанню.
Апробація роботи.
Апробація моделі була вироблена на реальних статистичних даних, отриманих і взятих з збірника народної господарства, статистичних збірників, а також періодичної преси.
Завдання 1.
На базі статистичних показників змінних X(i) та Y(i), n=17, побудувати графік емпіричних змінних, вибрати форму криволінійної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості ?=0,9. Перевірити фактор Y на автокореляцію, а також оцінити прогноз для таких значень X: X1(p1)=15, X2(p2)=17, X3(p3)=20.
I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
X(i) 6,15 6 6,05 6,8 7,15 6,5 7,2 6,65 7,3 7,25 7,25 7 6,9 6,9 6,7 6,9 6,75
Y(i) 12 13,8 14 14,4 13,6 14,2 13,8 14,2 14,6 17 14,6 14,4 15,2 17,4 14,8 16 15,2
Рішення.
1-й крок:
1.1) взяти декартову систему координат на площині;
1.2) відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,….., n;
1.3) обвести всі відкладені точки замкнутою кривою – отримати хмару розсіяння експерементальних даних;
1.4) на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.
У нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити, що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді
2-й крок:
2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:
2.2)обчислити значення для кожного значення і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;
2.3)побудувати графік регресійної функції
3-й крок:
3.1) обчислити залишкову дисперсію за формулою:
, де n – довжина вибірки, m – число факторів(m=1)
3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:
,
а середнє значення відносної похибки, як
,
4-й крок:
4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:
, де
,
;
5-й крок:
5.1) обчислити центровані значення за формулою:
5.2) знайти коефіцієнт Стьюдента , де ?=1-p, ?=n-2( з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),
в нашому випадку =1.75
5.3) обчислити дисперсію:
5.4) обчислити за формулою:
5.5) з'єднати неперервною лінією на графіку всі значення і та отримані дані занести у таблицю (отримуємо надійну зону).
6-й крок:
6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою
, де =1, 2,…., n
6.2) визначити d- статистику за формулою
6.3) знайти верхню () і нижню () межу (із додатку в кінці будь-якої книги із статистики ) – d-статистика(Критерій Дарбіна-Уотсона); ;
6.4) зробити висновок про автокореляцію.
Так як , то ряд не містить автокореляцію.
7-й крок:
7.1) у рівняння підставити значення ;
Коли Xp=15, Yp=25,88365.
Коли Xp=17, Yp=28,61847.
Коли Xp=20, Yp=32,7207.
7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою
Коли Xp=15, ?Yp=12,318.
Коли Xp=17, ?Yp=15,207.
Коли Xp=20, ?Yp=19,567.
7.3) записати межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень ( ; ).
(13,56565; 38,20165)
(13,41147; 43,82547)
(13,1537; 52,2877)
n X(i) Y(i) Xi2 X(i)?Y(i) U(i) Ui2 ?i Ui – Ui-1 (Ui – Ui-1)2
1 6,15 12 37,8225 73,8 13,78207 -1,7820715 3,17577883 -14,8506 -0,64118 0,411107 1,112438 12,66963 14,89451
2 6 13,8 36 82,8 13,57696 0,22304 0,04974684 1,616232 -0,79118 0,625959 1,304358 12,2726 14,88132 2,005112 4,020472
3 6,05 14 36,6025 84,7 13,64533 0,3546695 0,12579045 2,533354 -0,74118 0,549342 1,239332 12,406 14,88466 0,131629 0,017326
4 6,8 14,4 46,24 97,92 14,67089 -0,270888 0,07338031 -1,88117 0,008824 7,79E-05 0,591756 14,07913 15,26264 -0,62556 0,391322
5 7,15 13,6 51,1225 97,24 15,14948 -1,5494815 2,40089292 -11,3932 0,358824 0,128755 0,792444 14,35704 15,94193 -1,27859 1,634801
6 6,5 14,2 42,25 92,3 14,26067 -0,060665 0,00368024 -0,42722 -0,29118 0,084783 0,730096 13,53057 14,99076 1,488817 2,216575
7 7,2 13,8 51,84 99,36 15,21785 -1,417852 2,01030429 -10,2743 0,408824 0,167137 0,843106 14,37475 16,06096 -1,35719 1,841957
8 6,65 14,2 44,2225 94,43 14,46578 -0,2657765 0,07063715 -1,87167 -0,14118 0,019931 0,626924 13,83885 15,0927 1,152076 1,327278
9 7,3 14,6 53,29 106,58 15,35459 -0,754593 0,5694106 -5,16845 0,508824 0,258902 0,95338 14,40121 16,30797 -0,48882 0,238942
10 7,25 17 52,5625 123,25 15,28622 1,7137775 2,93703332 10,08104 0,458824 0,210519 0,89693 14,38929 16,18315 2,468371 6,092853
11 7,25 14,6 52,5625 105,85 15,28622 -0,6862225 0,47090132 -4,70015 0,458824 0,210519 0,89693 14,38929 16,18315 -2,4 5,76
12 7 14,4 49 100,8 14,94437 -0,54437 0,2963387 -3,78035 0,208824 0,043607 0,666445 14,27793 15,61081 0,141853 0,020122
13 6,9 15,2 47,61 104,88 14,80763 0,392371 0,153955 2,581388 0,108824 0,011843 0,612841 14,19479 15,42047 0,936741 0,877484
14 6,9 17,4 47,61 120,06 14,80763 2,592371 6,7203874 14,89868 0,108824 0,011843 0,612841 14,19479 15,42047 2,2 4,84
15 6,7 14,8 44,89 99,16 14,53415 0,265853 0,07067782 1,796304 -0,09118 0,008313 0,606592 13,92756 15,14074 -2,32652 5,412686
16 6,9 16 47,61 110,4 14,80763 1,192371 1,4217486 7,452319 0,108824 0,011843 0,612841 14,19479 15,42047 0,926518 0,858436
17 6,75 15,2 45,5625 102,6 14,60252 0,5974825 0,35698534 3,930806 -0,04118 0,001695 0,5947 14,00782 15,19722 -0,59489 0,353892
Сума 115,5 249,2 786,7975 1696,13 249,2 1,55E-05 20,9076491 -9,457 8E-06 2,756176 13,69395 235,506 262,8939 2,379554 35,90415
Таблиця 2
Завдання 2.
На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості ?=0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (tр):
t X (t)
1 9,51
2 11,62
3 11,22
4 15,22
5 13,99
6 15,18
7 14,98
8 17,88
9 16,78
10 18,94
11 20,98
12 15,71
13 20,74
14 24,7
15 20,78
16 20,74
17 19,75
18 23,92
k кор. 0,899208
Рішення:
Побудуємо графік тренду зміни Х(t)
Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=bt?.Визначимо параметри цієї регресії:
18 18
?=( ? t 1 x 1 (t)-18 t 1 x 1 (t) )/(? x 1 2 (t)-18 x 1 2 ) =0.3081
t=1 t=1
b 1=x 1(t)-? t 1=2.2002.
Де х 1 (t)=ln x(t), t 1 =ln t,? 1 = ?,b 1= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.
Дисперсію визначаємо за формулою:
n
S2= ?(x 1-x)2/( n-p-1)=1.9044
i=1
Вибірковий коефіцієнт детермінації :
n n
R=(1-(?(xi-xi)2/?(xi-x)2))1/2= 0.9095
i=1 i=1
Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення Fp-критерію Фішера:
Fp=?x2/S2=5.445,
n
де ?x2= ?(x 1-x)2/(n-1).Оскільки Fрозр>Fтабл=1,95,то прийнята
i=1
модель адекватна експерементальним даним.
Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,
?x1i=ta,kS/n1/2(1+(x1i-x1)2/?x12)1/2
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :
Yi??Yi=exp(Y1i??Y1i).
Складемо таблицю1.
Визначимо автокореляцію за формулою:
n n
d= ?(lt-lt-1)2/?lt2=2.425.
t=2 t=1
Визначимо границі d-статистики: d1=1.16,dn=1.39.Оскільки виконується нерівність dn