Логическое проектирование и минимизация
Содержание
Введение 5 1. Обзор методов логического проектирования и минимизации 9 1.1 Нормальные формы логических функций 10 1.2 Общие сведения о минимизации логических функций 15 1.3 Расчётный метод минимизации 18 1.4 Расчётно-табличный метод минимизации 21 1.5 Табличный метод минимизации 23 2. Возможности программы моделирования Electronics Workbench 28 2.1 Общие сведения об Electronics Workbench 28 2.2 Интерфейс Electronics Workbench 32 2.3 Свойства и параметры измерительной аппаратуры, используемой в работе 41 3. Математические модели и эквивалентные схемы в программе логического проектирования 48 4. Разработка логических схем практикума 53 4.1 Схема цифрового автомата 53 4.2 Цифровой компаратор 2-х разрядного кода 54 4.3 Дешифратор 4-х разрядного адреса 56 4.4 Схема контроля чётности 58 5. Методические указания 61 5.1 Описание лабораторной установки 61 5.2 Предварительное расчётное задание 62 5.3 Рабочее задание 62 5.4 Контрольные вопросы 65 6. Методические рекомендации по быстрому знакомству с программой 67 6.1 Работа с HELP, проблема языка и русификация 67 6.2 Об окне Description 67 6.3 Возможности получения твёрдой копии и подготовки отчёта 68 6.4 Демонстрационная версия 68 7. Организационно-экономическая часть 71 7.1 Организация НИР 71 7.2 Расчёт затрат 73 7.3 Обоснование социально-экономической эффективности разработки 76 8. Экология и охрана труда 81 8.1 Общие сведения об электромагнитных полях 81 8.2 Методика проведения исследования 87 Заключение 91 Список используемой литературы 93Введение
Лабораторный практикум является обязательным компонентом обучения во всех электронных курсах, читаемых на кафедре "Технической электродинамики и электроники" МГИРЭА(ТУ). Во время практикума студенты закрепляют теоретические знания практической работой с электронными схемами, учатся работать с контрольно-измерительной аппаратурой, приобретают исследовательские навыки. В связи с динамическим изменением элементной базы электроники, измерительной аппаратуры, электронный практикум должен своевременно обновляться и совершенствоваться. Дело это трудоемкое и достаточно дорогое, особенно в нынешних условиях.
При всех несомненных достоинствах существующего практикума имеется довольно много замечаний, которые в силу объективных и субъективных трудностей практической реализации не решены на сегодня:
1) Современная полупроводниковая и интегральная элементная база очень чувствительна к перегреву, перенапряжению, статическому электричеству, имеет миниатюрные размеры и поэтому требует сложной, дорогой технологической оснастки для реальной работы с современными электронными схемами. Использование вредных химических веществ при монтаже требует соответствующего оборудования помещения (тоже не дешевого).
2) Работа с современными быстродействующими компонентами требует постоянного обновления дорогой и сложной контрольно-измерительной аппаратуры. Современная аппаратура сложна, требует высокой квалификации исследователя и мало приспособлена для студенческого практикума.
3) Целый ряд исследований невозможно выполнить из-за уникальности необходимой аппаратуры (исследование фазовых характеристик, спектральных характеристик, нелинейных характеристик, исследование влияния температуры на работу электронного устройства и т.д.).
4) В существующем практикуме отсутствует возможность диагностики неисправности электронного устройства, обучения навыкам ремонта электронных схем, пуско-наладочных работ, то есть тех обязательных навыков, которыми обязан владеть электронщик при разработке и эксплуатации электронной аппаратуры.
5) В разработке современной электронной аппаратуры все шире используется вычислительная техника, системы автоматического проектирования, интеллектуальная диагностика работоспособности устройств. Это направление совершенно не представлено в существующем практикуме.
Перечисленные замечания конечно не полностью описывают проблему. Поэтому актуально стоит поиск альтернативных методических направлений обучения электронным дисциплинам.
Одно из таких направлений рассмотрено в данной работе - использование в лабораторном практикуме компьютерного моделирования на базе программного пакета Electronics Workbench фирмы Interactive Image Technologies Ltd. (Canada).
Этот пакет представляет законченную среду (shell) разработки электронных схем с интуитивным простым интерфейсом, близким для электронщика. Название пакету выбрано точно - в переводе - рабочий стол электронщика.
У этого пакета имеется целый ряд достоинств, привлекающих внимание:
1. Оригинальный простой графический редактор, позволяющий достаточно просто рисовать на экране практически любые электронные схемы в привычном изображении.
2. Большая библиотека современных электронных компонент, дискретных, интегральных аналоговых, цифровых и смешанных аналогово-цифровых. Библиотека открытая, легко может пополняться новыми элементами, в том числе и отечественными.
3. Богатая библиотека электронных схем, позволяющая использовать готовые практические разработки и легко модернизировать под конкретную задачу. Библиотека открытая, позволяет пополнение как за счет новых разработок, так и за счет подключения библиотек более ранних версий.
4. Великолепный набор виртуальных измерительных приборов, позволяющих выполнить любое электрическое ( и не только электрическое измерение). Работа с этими измерительными приборами максимально приближена к работе с реальными приборами. Подключив виртуальный прибор к любой точке схемы можно получить исчерпывающую информацию о процессах в данном узле.
5. Простой по интерфейсу набор моделирующих средств, позволяющий помимо традиционного моделирования электронной схемы по постоянному и переменному току, повести моделирование спектральных, нелинейных, амплитудно-частотных, фазо-частотных характеристик, влияние температуры на отдельные компоненты и на схему в целом, возможность сканирования (sweep) любых параметров компонентов, параметров источников сигналов и питания. Достаточно просто можно выполнить вероятностный анализ работы схемы с различными законами распределения параметров.
6. Большие возможности документирования исследования, получение твердой копии как электрической схемы, параметров моделирования, информации с экрана измерительной аппаратуры, хорошо оформленных графических результатов исследования.
7. Поразительно низкие требования, предъявляемые к компьютеру. Возможна работа начиная с 386 модели.
8. Не требует знаний по программированию. Требуется лишь знакомство со средой Windows. Интуитивный интерфейс позволяет быстро даже неподготовленному пользователю (буквально за полчаса) познакомится с основами и приступить непосредственно к электронным исследованиям.
9. Нельзя не упомянуть обширный, тщательно подготовленный Help, обеспечивающий как контекстную помощь по меню, компонентам, опциям моделирования, так и общие вопросы моделирования, возможные ошибки.
Достоинств в этом пакете больше, чем перечислено и о них еще будет говориться в процессе разработки лабораторного практикума. Однако то, что перечислено, позволило среди множества известных пакетов электронных CAD'ов (Computer Aided Design) выбрать именно Electronics Workbench как наиболее подходящий для использования в лабораторном практикуме.
В настоящее время всё большее количество студентов получает доступ к персональным компьютерам. Возрастает количество компьютеров на кафедрах и в лабораториях институтов, растёт и число студентов, имеющих компьютеры дома.
Следовательно российские учебные заведения уже заинтересованы в появлении компьютерного лабораторного практикума. Таким образом объективные экономические причины для разработки компьютерного моделирования лабораторных работ уже есть.
В этой связи имеет смысл начать разработку моделирования лабораторных работ средствами вычислительной техники, тем более что программы появляющиеся на российском рынке программного обеспечения позволяют сделать это моделирование не менее наглядным чем работа на реальных стендах.
1. Обзор методов логического проектирования и минимизации
Термин “логическое проектирование” охватывает целый комплекс проблем, возникающих на одной из ранних стадий создания цифрового автомата. Одним из этапов логического проектирования является синтез его так называемых комбинационных устройств, который заключается в определении таких способов соединения некоторых простейших схем, называемых логическими элементами, при которых построенное устройство реализует поставленную задачу по преобразованию входной двоичной информации. В частности логическими элементами являются инвертор, конъюнктор и дизъюнктор. Поскольку эти элементы образуют функционально полный набор, то с их помощью можно построить комбинационное устройство (то есть устройство не обладающее памятью, в котором выходной сигнал в любой момент времени определяется только комбинацией входных сигналов), реализующее любой наперёд заданный закон преобразования двоичной информации .
Обычно логическое проектирование выполняется в следующей последовательности:
1) составление таблицы истинности синтезируемого узла согласно его определению, назначению и (словесному) описанию принципа работы ;
2) составление математической формулы для логической функции, описывающей работу синтезирующего узла, согласно имеющейся таблице истинности ;
3) анализ полученной функции с целью построения различных вариантов её математического выражения (на основании законов булевой алгебры) и нахождения наилучшего из них в соответствии с тем или иным критерием ;
4) составление функциональной (логической) схемы узла из заранее заданного набора логических элементов .
1.1 Нормальные формы логических функций
Синтез комбинационных устройств обычно начинается с табулирования значений истинности всех входных и выходных величин. Табличное задание закона функционирования некоторого устройства является наиболее наглядным и универсальным средством описания его работы. Результатом рассматриваемого этапа является таблица истинности, связывающая все возможные комбинации значений аргументов и функций. Пусть, например, требуется синтезировать цифровое устройство, реализующее сложение двух двоичных цифр (полусумматор) .
1-й этап синтеза - даётся словесное описание полусумматора и принципа его работы. Он должен анализировать все комбинации входных сигналов (т. е. двоичных цифр 00, 01, 10, 11) и в соответствии с ними формировать на выходе двухразрядные суммы. В первом разряде результата формируется цифра переноса, а во втором - цифра многоразрядной суммы. Следовательно, синтезируемый полусумматор должен иметь два входа (n=2) и два выхода. Далее от нестрогого словесного описания переходим к строгому формальному описанию работы полусумматора на табличном языке. Таблица истинности (см. табл. 1.1) в общем случае при n входах имеет 2 в степени n комбинаций значений аргументов .
Таблица 1.1
Таблица истинности полусумматора.
1-я цифра слагаемое Х1 0 0 1 1 2-я цифра слагаемое Х2 0 1 0 1 Цифра переноса р 0 0 0 1 Цифра суммы s 0 1 1 02-й этап синтеза - для того чтобы показать методику перехода от таблицы истинности к аналитическому выражению, рассмотрим некоторую обобщённую таблицу истинности двух аргументов f(X1,X2) (см. табл. 1.2). Ограничение на число аргументов не является в данном случае существенным, но значительно упрощает все рассуждения .
Таблица 1.2
Обобщённая таблица истинности функции двух аргументов.
1-й логический аргумент Х1 0 0 1 1 2-й логический аргумент Х2 0 1 0 1 Логическая функция f(X1,X2) f0 f1 f2 f3Здесь f0=f(0,0); f1=(0,1); f2=(1,0); f3=(1,1) - конкретные реализации функции f(X1,X2) при определённых частных значениях аргументов X1 и X2. Они также являются двоичными переменными. Десятичные индексы при их символах числено равны тем двоичным числам, которые образуются соответствующими частными значениями аргументов. Кроме того, каждый десятичный индекс можно трактовать как номер некоторого столбца в Таблице 1.2, изменяющийся в пределах от 0 до 2n -1, так как обычно значения аргументов в таблице записываются таким образом, чтобы получающееся из них по вертикали двоичное число было равно номеру столбца. Исходя из вышеизложенного, уже можно перейти от табличной записи логической функции f(X1,X2) к аналитической :
f(X1,X2) = f0 при, х1=0, х2=0 ;
f1 при, х1=0, х2=1 ; (1.1)
f2 при, х1=1, х2=0 ;
f3 при, х1=1, х2=1 ;
Такая запись несколько удобнее и компактнее таблицы, однако она всё-таки громоздка и плохо обозрима (особенно в случае большого числа аргументов). Но от неё можно перейти к записи другого вида, более удобной и компактной :
f(x1,x2)= x1x2f0+ x1x2f1+ x1x2f2+ x1x2f3 (1.2)
Правило построения каждого члена в этом предложении несложно; производится логическое умножение элементов каждого столбца табл.1.2, причём вместо 1 берётся символ соответствующего аргумента, а вместо 0 - его отрицание. Равносильность соотношений (1.1) и (1.2) простой подстановкой в выражение (1.2) всех возможных комбинаций значений аргумента xi .
Обобщив вышеизложенное можно сформулировать правило получения аналитической записи логической функции для некоторого комбинационного узла :
- для того чтобы получить аналитическое выражение функции, заданной таблично, нужно составить сумму конституент(см. ниже) единицы для тех наборов значений входных двоичных переменных, для которых реализации функции fi равны 1, причём символ любой переменной в некоторой конституенте берётся со знаком отрицания, если конкретное значение переменной xi в рассматриваемом наборе имеет значение 0 .
Поскольку логическая сумма всех элементарных произведений наивысшего ранга n обязательно равна 1, какой бы набор значений входных переменных ни рассматривался, то эти произведения вполне логично называть конституентами (составляющими) единицы. Аналогично объясняется и название конституенты (составляющей) нуля, так как известно, что логическое произведение всех элементарных сумм наивысшего ранга тождественно равно нулю .
Все функции, полученные в соответствии с вышеизложенным правилом получения аналитической записи логической функции для некоторого комбинационного узла, независимо от числа аргументов имеют много общего в своей структуре. Таким образом это правило определяет канонический вид любой логической функции. В этом случае говорят, что функция задана (записана) в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ). Нормальной эта форма называется потому, что члены функции в данном случае имеют вид элементарных конъюнкций. Вследствие того что все члены соединены в одну функцию знаком дизъюнкции, форма носит название дизъюнктивной. И, наконец, форма называется совершенной, так как все её члены имеют высший ранг, являясь конституентами единицы .
Поскольку алгебра логики симметрична, то вышеприведённые рассуждения можно применить для вывода ещё одной канонической формы логических функций - совокупности конституент нуля, соединённых знаком конъюнкции. Таким образом сформулируем второе правило :
- для того чтобы получить аналитическое выражение функции, заданной таблично, в совершенной конъюктивной нормальной форме, нужно составить логическое произведение конституент нуля для тех наборов значений, входных двоичных переменных, для которых реализация функции fi равна 0, причём символ любой переменной в некоторой конституенте берётся со знаком отрицания, если её конкретное значение xi в рассматриваемом наборе равно 1 .
В общем случае переход к совершенной нормальной форме производится за три шага .
1-й шаг - с помощью многократного применения законов инверсии снимаются общие и групповые отрицания так, чтобы отрицания оставались только у одиночных переменных .
2-й шаг - с помощью распределительных законов производится переход к одной из нормальных форм функции.
3-й шаг - производится преобразование членов ДНФ или КНФ в соответствующие конституенты с помощью правила развёртывания .
Пользуясь сформулированными правилами и таблицей 1.1 для полусумматора записываем :
p(x1,x2) = x1x2
s(x1,x2)= x1x2 +x1x2 СДНФ (1.3)
p(x1,x2) = (x1+ x2) (x1 +x2) (x1+x2)
s(x1,x2) = (x1+ x2) (x1 +x2) СКНФ (1.4)
3-й этап синтеза - анализ и оптимизация (минимизация) логических функций являются весьма важными компонентами синтеза цифровых автоматов без памяти. Поэтому методы анализа и оптимизации будут рассмотрены отдельно .
4-й этап синтеза - к построению функциональной схемы синтезируемого узла в принципе можно переходить сразу же, как только становится известным аналитическое описание его работы. Построение схемы основано на прямом замещении элементарных произведений, сумм и отрицаний соответственно конъюнкторами, дизъюнкторами и инверторами. Пользуясь соотношениями (1.3), (1.4) можем построить для полусумматора две функциональные схемы .
а) СДНФ
б) СКНФ
Рис. 1.1 Функциональная схема полусумматора .
С функциональной точки зрения обе схемы полностью тождественны, хотя по структурной сложности они значительно различаются .
1.2. Общие сведения о минимизации логических функций
Однозначность соответствия формы логической функции и параметров реальной электронной схемы приводит к необходимости оптимизации функции, т.е. к необходимости получения наилучшего её вида по выбранному критерию. В общем случае речь должна идти об оптимизации функции по таким показателям, как быстродействие, надежность (достижение их максимума), количество потребного оборудования, вес, габариты, энергопотребление, стоимость (достижение их минимума) и т.п. Однако решение этой задачи в общем виде- достаточно трудное дело, тем более что некоторые из указанных показателей находятся в известном противоречии. Например, увеличение быстродействия, как правило, достигается за счет параллельной организации работы данного устройства, но это ведёт к увеличению оборудования, а значит, к уменьшению надежности и увеличению стоимости. Поэтому на практике обычно решается частная задача оптимизации по одному из критериев. Чаще всего это делается по минимуму потребного оборудования, так как при этом автоматически решаются задачи получения минимальных габаритов, веса, энергопотребления, стоимости. Такая частная задача оптимизации логической функции носит название минимизации.
Таким образом, возникает задача нахождения из всех возможных форм логической функции её так называемой минимальной формы, обеспечивающей минимум затрат оборудования при построении синтезируемого узла, если имеется заданный набор логических элементов (НЕ, И, ИЛИ) с определенными техническими характеристиками (например, максимально возможное число входов у элементов И, ИЛИ и др.). Нетрудно заметить, что в рамках нормальных форм минимальной будет такая разновидность функции, которая состоит из наименьшего количества членов при наименьшем, по возможности, общем числе символов переменных.
Из большего числа различных приемов и методов минимизации рассмотрим три наиболее показательных, типовых:
расчетный метод ( метод непосредственных преобразований);
2 расчётно-табличный метод (метод Квайна-Мак-Класки);
табличный метод (метод Вейча-Карно).
Исходной формой для любого из этих методов является одна из совершенных форм-СДНФ или СКНФ. Это обстоятельство практически не накладывает особых ограничений, поскольку переход от произвольной формы функции к её совершенным формам, как это было показано выше, не представляет принципиальных трудностей. В общем случае при любом из вышеупомянутых методов минимизация производится в три этапа.
1-й этап- переход от совершенной Д(К)НФ к сокращенной Д(К)НФ путем производства всех возможных склеиваний друг с другом конституент, а затем всех производны членов более низкого ранга. Таким образом, под сокращенной формой будем понимать дизъюнктивную (или конъюнктивную) форму функции, членами которой служат только изолированные (несклеивающиеся) элементарные конъюнкции (или дизъюнкции). Члены сокращенной Д(К)НФ в алгебре логики носят название простых импликант (имплицент). Не исключен случай, когда СД(К)НФ тождественно равна сокращенной форме рассматриваемой функции.
2-й этап- переход от сокращенной нормальной к тупиковой нормальной форме. Тупиковой будем называть такую нормальную дизъюнктивную (конъюнктивную) форму функции, членами которой являются простые импликанты (имплиценты), среди которых нет ни одной лишней. Термин “лишний” здесь имеет прямое значение. Лишним будем называть такой член функции, удаление которого не влияет на значение истинности этой функции. Возможны случаи, когда в сокращенной форме не оказывается лишних членов. Тогда сокращенная Д(К)НФ тождественно равна тупиковой форме. Не исключены случаи появления нескольких тупиковых форм из одной сокращенной. Название “тупиковая форма” показывает, что дальнейшая минимизация в рамках нормальных форм уже невозможна.
3-й этап - переход от тупиковой (минимальной среди нормальных форм) формы функции к её минимальной форме. Этот этап, называемый обычно факторизацией, уже не является регулярным, как два предыдущих, и требует определенной сноровки, интуиции и опыта. Здесь подразумевается поиск возможностей упрощения функции методом проб и испытаний. Для уменьшения числа операций отрицания следует применять законы инверсии, а для уменьшения числа конъюнкций и дизъюнкций - распределительные законы. На этом же этапе решается и вторая задача- приведение логических функций к виду, удобному для применения реальных логических элементов, которые на практике имеют определенные ограничения по количеству входов и по величине допустимой нагрузки. Различные методы минимизации отличаются друг от друга путями и средствами практической реализации того или иного этапа. При минимизации сложных функций чаще всего ограничиваются двумя первыми этапами, т.е. получением самой простой среди тупиковых ДНФ (КНФ). Рассмотрим каждый из вышеназванных методов.
1.3. Расчетный метод минимизации
Пусть задана некоторая функция в СДНФ, которую требуется минимизировать:
fсднф = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 ( 1.5)
1-й этап - производим все возможные склеивания членов заданной функции. В общем случае эта процедура осуществляется за несколько шагов, в результате каждого из которых происходит понижение ранга склеиваемых членов на единицу. На первом шаге склеиваются конституенты:
fпр = x1 x3 + x2 x3 + x1x2 (1.6)
Затем производится второй шаг испытания на склеивание всех членов функции в промежуточной форме. Рассматривая соотношение (1.6), убеждаемся, что все его члены изолированы. Следовательно, полученная промежуточная форма является сокращенной ДНФ исходной функции (сДНФ). Отметим, что все конституенты функции (1.5) участвовали хотя бы в одном склеивании, поэтому ни в сокращенной, ни тем более в тупиковой форме членов максимального ранга не будет:
fсднф = x1x3 + x2x3 + x1x2 (1.7)
2-й этап - осуществляется проверка каждой простой импликанты в сДНФ с целью выявления и удаления лишних членов. Проверка состоит в следующим. На значение истинности функции влияет только та импликанта, которая сама равна 1. любая импликанта становится равной 1 лишь на одном, вполне определенном наборе значений истинности своих аргументов. Но если именно на этом наборе суммы остальных членов тоже обращается в 1, то рассматриваемая импликанта не влияет на значение истинности функции даже в этом единственном случае, т.е. является лишней. Применим это правило к проверке членов функции в сДНФ (1.7):
1) x1x3 = 1 при x1 = 0, x3 = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна x21 + 1x2 = 1; следовательно, проверяемый член - лишний;
2) x2x3 = 1 при x2 = 0, x3 = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна x11 + x10 = x1 ; следовательно, проверяемый член не является лишним;
3) x1x2 = 1 при x1 = 0, x2 = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна 1x3 + 0x3 = x3 ; следовательно, проверяемый член не является лишним.
Таким образом, отбросив лишний член, получим тупиковую дизъюнктивную нормальную форму (ТДНФ) исходной функции:
fтднф = x1x2 + x2x3 (1.8)
Более подробно остановимся на случае, когда лишних членов оказывается больше, например два. Это не означает, что оба лишних члена можно отбросить, так как каждый из них проверялся при вхождении другого в оставшуюся сумму. Следовательно, отбросить наверняка можно только один из них, а затем нужно снова произвести проверку возможности отбросить и второй член.
Следует также остановится подробнее и на случае, когда исходной формой является СКНФ. Методика проведения первого этапа при этом практически не изменяется, но реализация второго этапа имеет свою специфику. На значение истинности функции в конъюнктивной нормальной форме влияет только та имплицента, которая сама равна 0. Но любая имплицента становится нулем только при одном наборе своих аргументов. Следовательно, правило проверки сокращенной КНФ на лишние члены нужно сформулировать таким образом: для каждого члена сокращенной КНФ находится такой набор значений истинности его переменных, который обращает данный член в 0. Далее определяется значение истинности произведения остальных членов на этом же наборе. Если произведение также равно 0, то проверяемый член - лишний.
3-й этап - упрощаем ТДНФ или ТКНФ функции. Применив закон инверсии к первому члену функции в ТКНФ, получим минимальную форму (МФ):
fмф = x1x2(x2 + x3)
для аппаратурной реализации которой нужной всего семь условий транзисторов. Интересно, что преобразование в минимальную форму ТДНФ функции получается более сложным путем:
fтднф = x1x2 + x2x3 = (x1 + x2)(x2 + x2)(x1 + x3)(x2 + x3) = (x1 + x2)(x1 + +x3)(x2 + x3) = fскнф
Переход от сКНФ к МФ нетрудно осуществить через ТКНФ, как это было сделано выше.
1.4. Расчётно-табличный метод минимизации
Минимизация этим способом отличается от расчётной минимизации только методикой выявления лишних членов в сокращённой Д(К)НФ. Данный метод предложен американским ученым У.Квайном. Первый и третий этапы минимизации в этом случае будут идентичны соответствующим этапам при расчетном методе. Нахождение тупиковой формы (второй этап) производится с помощью специальной таблицы (отсюда название метода), значительно упрощающей обнаружение лишних членов. рассмотрим методику расчетно-табличной минимизации на том же примере, который разбирался нами при расчетном способе, что дает возможность более четко показать как общие черты обоих методов, так и их различия.
Итак, пусть требуется минимизировать функцию (1.5), заданную в СДНФ:
fсднф = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3
1-й этап - не отличается по содержанию от 1-го этапа при расчетном методе. Поэтому сразу же запишем исходную функцию в сДНФ:
fcднф = x1x3 + x2x3 + x1x2
2-й этап - для выявления возможных лишних членов в сД(К)НФ функции построим таблицу, входными величинами в которой будут конституенты - члены СД(К)НФ и импликанты (имплиценты) - члены сокращенной Д(К)НФ. Поэтому чаще всего такую таблицу называют конституентно-импликантной (имплицентной) матрицей; применяются также названия: таблица Квайна и таблица покрытий. Она имеет число строк, равное количеству импликант (имплицент) в сокращенной Д(К)НФ. Строки делятся на столбцы, число которых берется равным количеству конституент в СД(К)НФ. Поэтому в горизонтальные (строчные) входы таблицы записываются все простые импликанты(имплиценты), а в вертикальные входы - все члены совершенной нормальной формы (см. табл. 1.3).
Таблица 1.3
Таблица Квайна.
Импли- Конституенты канты x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x3 X X x2x3 X X x1x2 X XПроцесс минимизации начинается с последовательного составления каждой импликанты со всеми конституентами. Если какая-либо импликанта является собственной частью некоторой конституенты, то в табличной клетке, соответствующей обоим членам, проставляется любой условный значок (так, в табл.1.3 клетка перечеркивается крест-накрест). Таким образом, значки в каждой строке заполненной таблицы показывают, какие члены совершенной формы функции появятся при развертывании данной импликанты в семейство конституент. В идеальном случае каждая импликанта развертывалась бы только в “свои” конституенты, и в каждом столбце тогда находился бы только один условный значок. Практически этого не происходит, и очень часто одна и та же конституента покрывается в таблице несколькими импликантами. Задача состоит в том, чтобы вычеркиванием некоторых (лишних!) импликантов попытаться оставить в каждой колонке только значок или по крайней мере минимальное число импликант, покрывающих все конституенты. Практически обычно по таблице вначале находится так называемое ядро функции, состоящее из трех импликант (имплицент), каждая из которых осуществляет единственное покрытие некоторой конституенты и поэтому никоим образом не может оказаться в числе лишних.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру (см.табл.1.3), констатирует. что в ядро функции входят импликанты x1x2 и x2x3. Следовательно, остается только проверить возможность вычеркивания импликанты x1x3. Ее вычеркивание не нарушает условия о наличии хотя бы одного покрытия каждой конституенты любой импликантой. Следовательно, импликанта x1x3 является лишней. Тупиковая дизъюнктивная нормальная форма исходной функции
fтднф = x1x2 + x2x3 (1.8*)
Сравнение показывает идентичность соотношений (1.8) и (1.8*), что и должно было получиться.
3-й этап - по своему содержанию не отличается от соответствующего этапа при расчетном методе, поэтому сразу запишем минимальную форму исходной функции:
fмф = x1x2(x2+x3)
1.5. Табличный метод минимизации
При относительно небольшом числе переменных (R6 карты Карно становятся громоздкими (число клеток q>64) и не удобными для практического применения. Поэтому использование карты Карно можно рекомендовать при числе переменных * RB
Схема реализована в двух доступных в логическом конверторе базисах: рис.4.2(а) И, ИЛИ, НЕ и рис.4.2(б) И-НЕ. Для контроля правильности работы компаратора в обе схемы введены генератор слов и логический анализатор. Генератор слов подключен на входах схем и используется для генерации всех возможных комбинаций кодов А и В (2 разряда код А и 2 код В всего 4, следовательно 24=16 - генерируется 16 различных слов). На выходах схем подключен логический анализатор причём его первые 4 канала включены параллельно 4 используемым выходам генератора слов. Это сделано для получения более наглядной картинки на экране панели управления логического анализатора(см рис.4.3)
Рис.4.3 Временная диаграмма работы цифрового компаратора
Выход схемы подключен к 6-му каналу анализатора. Таким образом на экране одновременно отображаются входные и выходные сигналы, что позволяет получить полную временную диаграмму работы устройства(вход и выход на экране точно синхронизированы во времени).Наименование каналов сверху вниз: А1, А2, В1, В2 и Y.
4.3 Дешифратор 4-х разрядного адреса
а)
б)
Рис.4.4 Схема дешифратора адреса к 3-му варианту.
На рис.4.4(а,б) показана схема дешифратора адреса. Причём на рис.4.4(а) схема синтезирована в базисе И, ИЛИ, НЕ, а на рис.4.4(б) в базисе И-НЕ. Дешифрируемый адрес 01112 или 710. Подключив на вход схем генератор слов, а на выход логический анализатор(точно также как и в предыдущей схеме) легко получить временные диаграммы работы устройства см.рис.4.5
Рис.4.5 Временные диаграммы дешифратора адреса
С полученных временных диаграмм легко сосчитать дешифрованный адрес. Кроме того на полученной диаграмме выхода схемы можно наблюдать паразитный выброс - результат гонок возникающих с приходом кода 0100 на первом элементе И см.рис.4.4(а). Это вполне объяснимо поскольку разряды дешифрируемого сигнала проходят разное количество цифровых элементов. Конечно у реальных дешифраторов обязательно используется строб-импульс или тактирование.
4.4 Схема контроля чётности
Рис.4.6 Схема для получения таблицы истинности бита чётности с помощью логического конвертора
Схема на рис.4.6 показывает способ подключения логического конвертора. При таком подключении и задании соответствующего режима работы цифровой конвертор составляет таблицу истинности для подключенной схемы. Происходит это следующим образом:
На своих выводах подключенных ко входам схемы конвертор перебирает все возможные сочетания 0 и 1. В данном случае подключено 4 входа следовательно это будет 24=16 комбинаций(4-х разрядных слов). С выхода схемы конвертор считывает реакцию схемы на каждое слово и записывает её в столбец Out отображённый на панели управления вместе с перебираемым входным кодом. Отклик схемы на каждое слово записывается в той же строке, где находится и само посланное слово.
Таблица истинности для приведённой на рис.4.6 схемы контроля чётности будет иметь вид см.рис.4.7.
Рис.4.7 Таблица истинности схемы контроля чётности на панели логического конвертора.
Следующий этап - синтез схемы в базисе доступном на логическом конверторе.
Рис.4.8 Схема контроля чётности синтезированная в базисе И, ИЛИ, НЕ
Представленная на рис.4.8 схема осуществляет контроль чётности поступающих на её входы 4-х разрядных слов. В случае если количество единиц чётное на выходе Y формируется 1 если нечётное 0. В этом можно убедится подключив генератор слов и логический анализатор как показано на схеме рис.4.8. Временные диаграммы полученные на логическом анализаторе имеют вид см.рис.4.9
Рис.4.9 Временные диаграммы схемы контроля чётности
Все представленные здесь логические схемы реализованы на идеальных цифровых ключах из библиотеки Electronics Workbench. При желании их можно легко перевести в реальные серии микросхем. Библиотека Electronics Workbench предоставляет большие возможности для этого см.рис.4.10
Рис.4.10 Библиотека реальных компонентов электрических схем
Библиотека предоставляет широчайший набор цифровых компонентов ТТЛШ и КМОП технологи