§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1п. Общий вид нелинейного уравнения
F(x)=0
Нелинейные уравнения могут быть двух видов:
Алгебраические

anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0
Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции.

Значение х0 при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем уравнения.
В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания корней делиться на два этапа:
Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.
Уточнение корня с заданной точностью.
Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.
Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0
Выходом из итерационного процесса являются условия:
|f(xn)|??
|xn-xn-1|?? рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных.

2 п. Метод половинного деления.
Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?, если известно, что f(a)*f(b)a. Определить корень с точностью ?.

Суть метода
Дано f(x)=0 (1)
Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=?(x) (2). Выберем грубое, приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим: x1= ?(x0) (3) , далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:

x2= ?(x1) (4)

x3= ?(x2) (5)
Проделаем данный процесс n раз получим xn=?(xn-1)
Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.
Выражение (5) запишем как x*= ?(x*) (6)

Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся.

Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b] выполняется условие:

Приведем ГСА для метода итерации:

4 п. Метод касательных (Ньютона).
Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Определить корень с точностью ?.

Суть метода
Выбираем грубое приближение корня х0 (либо точку a, либо b)
Наити значение функции точке х0 и провести касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х1
Определить значение функции в точке х1, через эту точку провести касательную получим точку х2
Повторим процесс n раз

Если процесс сходящийся то xn можно принять за искомое значение корня

Условиями сходимости являются:
|f(xn)|??
|xn-xn-1|??

Приведем ГСА метода касательных:

5п. Задание для РГР
Вычислить корень уравнения

На отрезке [2,3] с точностью ?=10-4 методами половинного деления, итерации, касательных.
6 п. Сравнение методов
Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой вычислительного процесса, скоростью сходимости.
Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая меняет знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона предъявляют к функциям более жесткие требования, но они обладают высокой скоростью сходимости.
Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для пологих функций.

Метод касательных применим для функций с большой крутизной, а его недостатком является определение производной на каждом шаге.

ГСА головной программы, методы оформлены подпрограммами.

Программа по методам половинного деления, итерации и метода Ньютона.

CLS
- a = 2: b = 3: E = .0001

DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l - 3.8

F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b)

IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT "УТОЧНИТЬ КОРНИ": END

GOSUB 1

x0 = a

IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT "НЕ СХОДИТСЯ"

DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) - 3.8) / .35

GOSUB 2

x0 = b

F = FNZ(x0)

DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35
_

IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) - COS(SQR(x))) / (2 * x * SQR(x)))
< then print “не сходится”:end
GOSUB 3

END

'=========Метод половинного деления========

1 x = (a + b) / 2: T = T + 1

F3 = FNZ(x)

IF ABS(F3) < E THEN 5

IF F1 * F3 < 0 THEN b = x ELSE a = x

IF ABS(b - a) > E THEN 1
-
5 PRINT "X="; x, "T="; T

RETURN

'=========Метод итерации==========

2 x0 = a

12 X2 = FNF(x0): S = S + 1

IF ABS(X2 - x0) > E THEN x0 = X2: GOTO 12

PRINT "X="; X2, "S="; S

RETURN

'========Метод касательных=======

3 x0 = b

23 D = D + 1

F = FNZ(x0): F1 = FND(x0)

X3 = x0 - F / F1

IF ABS(X3 - x0) < E THEN 100

IF ABS(F) > E THEN x0 = X3: GOTO 23

100 PRINT "X="; X3, "D="; D

RETURN
Ответ

x= 2,29834 T=11

x=2,29566 S=2

x=2,29754 D=2

где T,S,D-число итерации для метода половинного деления, итерации, касательных соответственно.

-----------------------
Конец

Вывод x,F3

|b-a|>?

a=x1

b=x1

нет

да

F1* F30

F1=f(a); F2=f(b)

Ввод а,b,?

Начало

Уточнить a,b

Конец

Вывод x1

да

нет

|x1|-|x0|>?

x1=?(x0)

Ввод x0,?

Начало

x0=x1

нет

да

|f(x)|>?

x0=x1

Конец

Вывод x1

да

нет

|x1-x0|