Задание исследования
Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методом Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью языка С.
Подробное описание задачи и способы ее решения
Необходимо провести исследования так называемой внутренней сходимости численного интегрирования методами Симсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка С. Предполагается, что отрезок интегрирования [a,b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой).
Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваиваемого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа n. Отношения абсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущего приближенного значения принимается в качестве критерия достижения точности интеграла.
Построить зависимости количеств итераций от различных величин критерия точности.
Построить обратные зависимости критерия точности от количества итераций.
Повторить все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.
Исследовать влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных условиях)
Метод трапеций
, где
Метод Симпсона
, где
Результаты исследований
Таблица и график зависимости количества итераций от различных значений критерия точности
Для 
Критерий точности
Количество итераций
-0,1676631
14
-0,1518916
16
-0,0046931
12
-0,0026531
11
-0,0002639
10
-0,0001709
2
-0,0001297
9
-0,0000557
3
-0,000025
8
-0,0000198
4
-0,0000096
5
-0,0000038
6
0
15
0,0000052
7
0,071089
13
Критерий точности
Количество итераций
-0,1127271
16
-0,0750288
15
-0,0540677
14
-0,0021415
12
-0,0005711
11
-0,0000458
9
-0,0000381
2
-0,0000191
3
-0,000008
4
-0,000004
5
-0,0000019
7
-0,0000002
6
0,000005
8
0,0002983
10
0,0164377
13
Критерий точности
Количество итераций
-0,0066709
13
-0,0042367
14
-0,0003561
10
-0,0000016
5
-0,000001
4
0,0000005
3
0,0000006
6
0,0000009
2
0,0000009
7
0,0000223
8
0,000056
9
0,0002782
11
0,0003474
12
0,005293
16
0,0053267
15
Критерий точности
Критерий точности
-61,4469795
12
-5,714047
3
-1,0215755
13
-0,7241433
2
-0,5121117
4
-0,3222643
11
-0,2163614
7
-0,1536629
9
-0,0930261
14
0,0353183
16
0,057059
15
0,1697371
5
0,2025534
10
0,2504728
6
0,6202592
8
Критерий точности
Количество итераций
-0,0119308
16
-0,0007834
13
-0,0000079
3
-0,0000041
4
-0,0000037
7
-0,0000027
5
-0,0000027
6
-0,000002
8
-0,0000016
2
0,0000003
10
0,0000062
9
0,0000385
11
0,0000802
12
0,0005452
15
0,0016689
14
Критерий точности
Количество итераций
-0,0026286
16
-0,0012416
14
-0,0000118
3
-0,0000107
4
-0,0000046
5
-0,0000046
9
-0,0000028
6
-0,0000021
7
-0,0000005
2
0,0000011
10
0,0000018
8
0,0000023
11
0,000058
12
0,0001049
13
0,0027928
15
Таблица и график зависимости значений критерия точности от количества итераций
Для функции
По отношению к предыдущему значению
По отношению к аналитическому значению
Критерий точности
Количество итераций
Критерий точности
Количество итераций
-0,0001709
2
-0,0001932
2
-0,0000557
3
-0,0000629
3
-0,0000198
4
-0,0000224
4
-0,0000096
5
-0,0000108
5
-0,0000038
6
-0,0000043
6
0,0000052
7
0,0000058
7
-0,000025
8
-0,0000283
8
-0,0001297
9
-0,0001466
9
-0,0002639
10
-0,0002983
10
-0,0026531
11
-0,002998
11
-0,0046931
12
-0,0052891
12
0,071089
13
0,0797403
13
-0,1676631
14
-0,2014365
14
0
15
0
15
-0,1518916
16
-0,1518916
16
Для функции
По отношению к предыдущему значению
По отношению к аналитическому значению
Критерий точности
Количество итераций
Критерий точности
Количество итераций
-0,0000381
2
-0,0000666
2
-0,0000191
3
-0,0000335
3
-0,000008
4
-0,0000141
4
-0,000004
5
-0,0000069
5
-0,0000002
6
-0,0000004
6
-0,0000019
7
-0,0000033
7
0,000005
8
0,0000088
8
-0,0000458
9
-0,0000802
9
0,0002983
10
0,000522
10
-0,0005711
11
-0,0009997
11
-0,0021415
12
-0,0037465
12
0,0164377
13
0,0286955
13
-0,0540677
14
-0,0959378
14
-0,0750288
15
-0,1259331
15
-0,1127271
16
-0,1750124
16
Сравнение результатов
Таблица сравнительных результатов
Метод трапеции n=1000000
Метод Симпсона
n =1000000
Аналитический результат
Функция
Пределы
4,5051475
4,5240183
4,49980967
f(x)=1/x
0,1…..9
1,7491462
1,7500761
1,791756469
f(x)=1/x*x
0,3…..5
1,9991885
1,9999505
2
f(x)=sin(x)
0…….π
-0,0000512
0,000003
0
f(x)=sin(2*x)
0…….π
0,2857157
0,2856935
0,285714285
f(x)=sin(7*x)
0…....π
0,2222053
0,2222133
0,222222222
f(x)=sin(9*x)
0…....π
Таблица влияния увеличения верхнего предела на точность интегрирования
Аналитическое значение
Практическое значение
Верхний предел
Погрешность
4,49980967
4,5217996
9
-0,02198993
4,605170186
4,624969
10
-0,019798814
4,787491743
4,8039412
12
-0,016449457
4,941642423
4,9557843
14
-0,014141877
5,075173815
5,0875444
16
-0,012370585
5,192956851
5,2039275
18
-0,010970649
5,298317367
5,3082042
20
-0,009886833
Следовательно, увеличение верхнего предела приводит к увеличению точности интегрирования
Текст программы
/* Курсовая работа по информатике
"Исследование точности численного интегрирования"
"Research of Accuracy of Numerical Integration"
Преподаватель:
Студенты: Степанов А.Г.
Черепанов К.А.
Группа: Р-207
*/
# include <stdio.h>
# include <io.h>
# include <stdlib.h>
# include <iostream.h>
# include <string.h>
# include <math.h>
int main ()
{
FILE *fp; /*указатель на поток*/
int n,i,t,j,N;
float a,b,h,Sum[100],x,y,coa;
printf("Research of Accuracy of Numerical Integrationn");
/*Ввод точности вычисления*/
printf("Enter accuracy of calculation n= ");
scanf("%d",&n);
/*Ввод начала интегрирования*/
printf("Enter beginnings of integration= ");
scanf("%f",&a);
/*Ввод предела интегрирования*/
printf("Enter limit of integration= ");
scanf("%f",&b);
/*Открытие файла-источника*/
while((fp=fopen("data3.xls","w"))==NULL)
{
puts("Error!!! Can't open file nInput name of filen");
}
/*Ввод количества итераций*/
printf("Enter number of Itteration N= ");
scanf("%d",&N);
/*Вычисление шага интегрирования*/
h=(a+b)/n;
printf("Step=%.3fn",h);
/*******Вычисление интеграла методом трапеций*******/
for(j=1;j<=N;j++)
{
h=(a+b)/(int(pow(2,j-1))*n);
Sum[j]=0;
for(i=0;i<=(int(pow(2,j-1))*n);i++)
{
x=a+i*h;
if(i==0)
t=1;
else
t=2;
y=t*(h/2)*(sin(2*x));
Sum[j]=Sum[j]+y;
}
if (j>1)
{
coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];
printf("Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn",coa,j);
fprintf(fp,"%.7ft",coa);
fprintf(fp,"%dtn",j);
}
}
printf("The sum by a method of trapezes=%.7fn",Sum[1]);
fprintf(fp,"The sum by a method of trapezes=%.7fn",Sum[1]);
/*******Вычисление интеграла методом Симпсона*******/
for(j=1;j<=N;j++)
{
h=(a+b)/(int(pow(2,j-1))*n);
Sum[j]=0;
for(i=0;i<=(int(pow(2,j-1))*n);i++)
{
x=a+i*h;
if(i==0||i==n)
t=1;
else
{
if(i%2==0)
t=2;
else
t=4;
}
y=t*(h/3)*(sin(2*x));
Sum[j]=Sum[j]+y;
}
if (j>1)
{
coa=(Sum[j]-Sum[j-1])/Sum[j-1];
printf("Criterion of accuracy=%.5f Number of iteration=%dn",coa,j);
fprintf(fp,"%.7ft",coa);
fprintf(fp,"%dtn",j);
}
}
printf("The sum by a Simpson's method= %.7fn",Sum[1]);
fprintf(fp,"The sum by a Simpson's method=%.7fn",Sum[1]);
scanf("%d",&b);
}