Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов

Министерство высшего образования российской федерации

Кубанский Государственный технологический Университет

Кафедра Автоматизации производственных процессов

Курсовая работа

По курсу “Теория управления”

Тема курсовой работы: «Анализ и синтез оптимальной одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов»

Выполнил студент группы 96-ОА-61 номер зачетной книжки

96-ОА-612

…………………….

Проверил профессор

……………………..

Краснодар 1999

РЕФЕРАТ

Курсовой работа. ___ листов , ___ рисунков, ____таблицы,
____ источника, ____ приложение.

Передаточная функция, переходная функция, регулятор, фиксатор нулевого порядка, оптимальное управление, цифровой -фильтр.

В данном курсовой работе предложено синтезировать и проанализировать работу одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД- закон регулирования. Оптимизация
САУ производится по критерию максимальной динамической точности. В завершении был рассчитан цифровой фильтр, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Развитие всех областей техники в настоящее врамя характкризуется широкой автоматизацией различных производственных процессов. При этом освобождается труд человека, повышается точность и скорость выполнения операций, что значительно повышает производительность производства.

Автоматизация обеспечивает работу таких обьектов, непосредственое обслуживание человеком невозможно из-за вредности, отдаленности или быстрого протекания процесса.

В настоящее время резко увеличивается производство различного оборудования для автоматизации промышленности, а также внедряются новые типы автоматических устроиств, основанные на последних достижениях науки и техники. Эффективное использование автоматики в народном хозяйстве возможно лишь при условии рационального решения задач на всех этапах ее разработки и освоения. Наиболее ответственным этапом при проектировании систем автоматизации является их синтез, расчет и последующий анализ, которые на сегодняшний день базируются на теории управления. Эта наука позволяет не только найти параметры, при которых система работает устойчиво, различные качественные показатели системы, но также и оптимизировать систему для более рационального использования различных ресурсов.

1ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ

Определение оптимальных параметров настройки П, ПИ, ПИД - регуляторов производим по расширенных амплитудно-фазовым характеристикам.

Расширенной амплитудно-фазовой характеристикой звена или системы называют отношение вектора гармонических вынужденных затухающих колебаний на входе к вектору гармонических затухающих колебаний на входе.

Существуют два показателя степени затухания:

( - относительная степень затухания; m - логарифмический декремент затухания, которые связаны между собой следующим далее соотношением:

, (1.1)

Из предыдущей формулы (1.1) определяем значение логарифмического декремента затухания m:

, (1.2)

Система автоматического управления будет обладать требуемой относительной степенью затухания, если расширенная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой система автоматического управления будет проходить через точку на комплексной плоскости (-1, j0), т.е.

Wp(m,j()* Wo(m,j() = -1, (1.3)

или

-Wp(m,j() = 1/ Wo(m,j(), (1.4)

Для получения расширенной амплитудно-фазовой характеристики необходимо в передаточную функцию подставить:

p = -m( + j( = ((j-m).

Рисунок 1.1 Структура схемы непрерывной САУ

Передаточная функция нашего исходного объекта имеет следующий далее вид:

, (1.5)

, (1.6)

Формула (1.6) представляет собой инверсную расширенную амплитудно - фазовой характеристику обьекта.

Так как заданое значение ( = 0.96, то по формуле (1.2) определим значение m и подставим его в предыдущую формулу расширенной амплитудно- фазовой характеристики, m = 0.512.

Перед тем, как определить оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД регуляторов найдем частоту среза нашего обьекта.

Частота среза – это такое значение частоты w = wc, при котором значение амплитуды на выходе на превышало бы трех процентов от амплитуды при нулевой частоте.

Запишем выражение амплитудно - фазовой характеристики нашего обьекта:

, (1.7)

Амплитудно-фазовую характеристику обьекта можно найти из следующей формулы:

, (1.8)

где Re(w) – вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики;

Jm(w) – мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

При нулевой частоте значение амплитуды равно 3.1 . Значит необходимо найти такое w = wс, чтобы = 0.03*3.1 = 0.093.

Таким образом необходимо расчитать уравнение

, (1.9)

Решением этого уравнения является то, что мы находим следующие параметры w = 0.417, следовательно и wc = 0.417.

Для опреления оптимальных параметров регулятора необходимо решить уравнение (1.6). Приравняв вещественные и мнимые части в уравнении (1.6), можэно получить расчетные формулы для определения параметров регуляторов
[4, ст 250]:

- П – регулятор:

- Пи – регулятор:

- Пид – регулятор:

где С0 = 1/Tu;

C1 = Kp;

C2 = Tg.

Для ПИД – регулятора имеем два уравнения с тремя неизвестными, тогда задаемся отношением:

В этом случае расчет формулы для ПИД – регулятора принимает следующий далее вид:

где а = w(m2+1);

;

Расчет оптимальных параметров настройки для П – регулятора представлен следующим образом:

, (1.10)

Из второго уравнения системы (1.10) найдем w и подставим это значение в первое уравнение системы. При решении получи, что w = 0.354 и оптимильными параметрами настройки П – регулятора является значение Кропт =
1.01.

Рассчитываем оптимальные значения параметров настройки для ПИ – регулятора.

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находи точки С1С0 и С1, соответствующие требуемой степени затухания (. Оптимальным параметром является является точка на линии, равной степени затухания С1С0 = f(С1), лежащия справа от глобального максимума. Эти параметры обеспечивают:

Итак, запишем далее следующую систему уравнений для Пи – регулятора:

, (1.11)

Таблица 1.2

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИ – регулятора.

|w |C0 |C1 |C1C0 |
|0 |0 |-0.323 |0 |
|0.1 |0.029 |0.117 |4.858*10-4 |
|0.2 |0.073 |0.382 |0.028 |
|0.3 |0.059 |0.777 |0.046 |
|0.4 |-0.09 |1.228 |-0.11 |
|0.417 |-0.134 |1.307 |-0.175 |
|0.5 |-0.443 |1.753 |-0.777 |

Рисунок 1.2 – График звисимости С1С0 = f(C1) для Пи – регулятора

Максимальное значение функции С1С0 = 0.048 при С1 = 0.694. Берем точку правее глобального максимума С1 = 0.777, С1С0 = 0.0459 . Решив систему уравнений (1.11) получим оптимальные параметры пастройки Кропт =
0.777, Tuопт = 16.928.

Рассчитываем оптимальные параметры настройка для ПИД – регулятора:

, (1.12)

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находи точки С1С0 и С1, соответствующие требуемой степени колебательности m = 0.512 решив систему (1.12). Данные расчетов представлены в таблице 1.1 по эти данным построим график зависимости С1С0 = f(С1).

Таблица 1.1

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИД – регулятора.
|w |C0 |C1 |C1C0 |
|0 |0 |-0.323 |0 |
|0.1 |0.12 |0.097 |0.012 |
|0.2 |0.2 |0.485 |0.097 |
|0.3 |0.226 |0.913 |0.207 |
|0.4 |0.184 |1.447 |0.266 |
|0.417 |0.172 |1.556 |0.268 |
|0.5 |0.113 |2.206 |0.25 |

Рисунок 1.3 – График звисимости С1С0 = f(C1)

Нужно взяь точку, лежащую справа от глобального максимума.
Максимильное значение С1С0 =0.268 , при С1 = 1.576. Берем точку С1С0 =
0.2592 при С1 =1.9456. По этим значениям определим оптимальные параметры регулятора:

Таким образом оптимильные параметры настройки для ПИД – регулятора:

2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ

Запишем выражение передатичной функции для системы в замкнутом состоянии:

, (2.1)

где .

Тогда выражение (2.1) будут иметь вид:

, (2.2)

Найдем передаточную функию для замкнутой системы с П – регулятором, т.е. Wp(p) = Кp . Кp – оптимальное значение, найденное в первом разделе , т. е. Кp = 1.01.

Предаточная функция замкнутой системы с П – регулятором имеет следующие вид:

, (2.3)

Переходная функция замкнутой системы:

, (2.4)

Найдем полюса фунгкции (2.4).

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны:

p1 = 0; p2 = - 0.435; p3 = - 0.181 – j0.34; p4 = - 0.181 + j0.34.

Переходная функция для замкнутой системы с П – регулятором будет иметь следующий вид:

h(t) = 0.757-0.052e-0.424t * cos(0.254t) - 0.3857e-0.181t * sin(0.354t).

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Переходный процесс в замкнутой системе с П – регулятором.

Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИ – регулятором, т.е.:

В качестве Кр и Тu берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем Кр = 0.777 и Тu = 16.928. Тогда выражение передаточной функции имеет следующие далее вид:

, (2.5)

Запишем предаточную функция замкнутой системы с ПИ – регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1):

, (2.6)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.7)

Найдем полюса фунгкции (2.7).

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны:

p1 = - 0.421; p2 = - 0.075; p3 = - 0.149 – j0.29; p4 = - 0.149 + j0.29; p5 = 0.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИ – регулятором будет иметь следующий вид:

h(t) = 1- 0.0609e-0.421t – 0.757e-0.148t *cos(0.29t)-0.4870.148t

*sin(0.29t)-0.181e-0.075t

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Переходный процесс в замкнутой системе с ПИ – регулятором.

Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИД – регулятором, т.е.:

В качестве Кр , Тu и Тg берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем Кр = 1.9456 , Тu = 7.506, и Тg = 0.976. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид:

, (2.8)

Запишем предаточную функция замкнутой системы с ПИД – регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1):

, (2.9)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.10)

Найдем полюса фунгкции (2.10).

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны:

p1 = 0; p2 = -0.405 – j0.116; p3 = -0.405 + j0.116; p4 = -0.039 – j0.192; p5 = -0.039 + j0.192.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИД – регулятором будет иметь следующий вид:

h(t) = 1 – 0.2927e-0.404t*cos(0.1157t)- 0.032e-0.404t*sin(0.1157t)- 0.6934e-

0.038t*cos(0.1918t)- 0.2055e-0.0388t*sin(0.1918t).

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Переходный процесс в замкнутой системе с ПИД – регулятором.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА КВАНТОВАНИЯ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА И ПЕРЕСЧЕТ ЕГО
ВАРАМЕТРОВ

Необходимо выяснить соответствие коэффициентов неопределенногои цифрового регуляторов. Для выбора периода измерений цифрового регулятора строим амплетудно – частотную характеристику замкнутой системы и определяем частоту среза, при которой значение амплетуды на выходе не превышает три проценты от амплитуды при нулевом значении частоты.

Для этого возьмем передаточные функции замкнутой системы (для все типов регуляторов), которые были найдены во втором задании курсовой работы.

Передаточная функция замкнутой системы с П – регулятором:

, (3.1)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИ– регулятором:

, (3.2)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИД – регулятором:

, (3.3)

Выражение амплетудно – частотной характеристики для системы с П – регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.4)

Выражение амплетудно – частотной характеристики для системы с ПИ – регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.5)

Выражение амплетудно – частотной характеристики для системы с ПИД – регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.6)

Така как частота среза равна трем процентам от нулевого значения, то необходимо решить уравнение следующего вида:

. (3.7)

При решении уравнений было получено:

-частота среза для системы имеющей в стоем составе П – регулятор wс =
2.25;

-частота среза для системы имеющей в стоем составе ПИ – регулятор wс =
1.6738;

-частота среза для системы имеющей в стоем составе ПИД – регулятор wс
= 3.8194.

Частоту измерений принимают как:

, (3.8)

где wc = 3.8194 (наибольшее значение), при котором период квантования равен
T0 = 0.411.

Так как полученное значение меньше заданного, то произведем пересчет параметров.

В общем виде дискрктную передаточную функцию искоиого элемента можно записать следующим образом:

. (3.9)

В нашем случае выражение (3.9) примет вид:

, (3.10)

где ;

;

C учетом этих выражений необходимо пересчитать параметры непрерывных регуляторов в параметры цифровых.

Запишем передаточные функции непрерывных регуляторов:

- П – регулятор

Wp(p) = 1.01; (3.11)

- ПИ – регулятор

; (3.12)

- ПИД – регулятор

. (3.13)

После вычисления коэффициентов q0, q1 и q2 дискрктные передаточные функции будут иметь вид:

- П – регулятор

; (3.14)

- ПИ – регулятор

; (3.15)

- ПИД – регулятор

. (3.17)

4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ
ДЖУРИ И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ

При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.

где y – дискретное значение регулируемой величины; f – заданное значение регулируемой величины; e – ошибка управления; u – управляющее воздействие.

Рисунок 4.1 Структурная схема цифровой системы автоматического управления

Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:

, (4.1)

то с учетом того, что z = e –pT , эту функцию можно записать в следующем далее виде:

. (4.2)

Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:

. (4.3)

Так как

переходная фнукция ленейной части системы, то z – передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:

. (4.4)

Найдем выражение для передаточной функции линейной части:

. (4.5)

Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следйющего уравнения:

()*р = 0.

Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида: p1 = 0; p2 = - 0,2; p3 = - 0,33; p4= -0,25.

Переходная функция линейной части имеет следующий вид:

h(t) = -21,93e-0.2t –4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1 . (4.6)

С учетом формулы (4.4) получаем

После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

. (4.7)

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной чати и передаточной функции цифрового фильтра:

. (4.8)

Дискретная передаточная функция замкнутой системы:

. (4.9)

Определим значение W3(z) для каждой из систем:

- система с П – регулятором. Wр(z) = 1.01, Wн.ч.(z) – определеня по формуле (4.7), тогда:

; (4.10)

- система с ПИ – регулятором.

;

Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

; (4.11)

- система с ПИД – регулятором.

Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

. (4.12)

После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

Критерий устойчивости заключается в следующем.

Пусть задан А(z) – характкристический полином:

A(z) = a0zn + a1n-1 + … + an, a0 > 0.

Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке:

A(z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.

Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления число q0 и остаток А1(z) – полином n-1 степени.

Домножим полученый результат на z-1 получаем:

A1(z) = (a0-anq0)zn-1 + … + (an-1-a1q0).

Затем делим остаток A1(z) на обратный ему A10(z) и определяем новое q1 и A2(z)

и т.д.

Выполняя деление полиномов Ai(z) на обратные ему Ai0(z), получаем последовательность чисел qi = {q0, q1, q2,…,qn-2}.

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы является неравенства:

А(1)=(a0+ a1+ a2+…+an)>0;

(-1)nА(-1)=(a0(-1)n + a1(-1)n-1 +…+an)>0;

|qi|0 .

(-1)3A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.

А(z) = z3-2.7544z2+2.5359z - 0.7817

Обратный полином

Разделим A(z) на A0(z).

| | |
|-() |-0.7817=q0, |q0|0.

Обратный полином:

Разделим A(z) на A0(z).

Вернуться