It`s help you! By Taras, Stavropol.
На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей, эпюров и т.п.)
ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.
Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что
предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами,
ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям..
Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V —
вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V —
фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения
плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX. Плоскости
проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти.
Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель
находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей
проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя
будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах той
же первой четверти.
При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией
точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из
данной точки на эту плоскость.
На рисунке показаны точка А и ее ортогональные проекции а1 и а2.
Точку а1 называют горизонтальной проекцией точки А, точку а2 — ее
фронтальной проекцией. Каждая из них является основанием перпендикуляра,
опущенного из точки А соответственно на плоскости H и V.
Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых,
перпендикулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке.
Действительно, проецирующие лучи Аа1 и Аа2 определяют плоскость,
перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта
плоскость пересекает H и V по прямым а1 аx и а1 аx,, которые образуют с
осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке аx.
Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a1 и
a2, расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым
углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется
пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a1 и a2 к
плоскостям H и V.
Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться
иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть
вертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об
ориентации разноименных проекций точек относительно оси остается
справедливым.
Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных выше проекций,
плоскость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано
стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H будет совмещена
с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней
полуплоскостью V.
Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них
изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром
(от франц. еpure – чертеж). На рисунке показан эпюр точки А .
При таком способе совмещения плоскостей H и V проекции a1 и a2 окажутся
расположенными на одном перпендикуляре к оси OX. При этом расстояние a1ax —
от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки
А до плоскости V, а расстояние a2ax — от фронтальной проекции точки до оси
OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H.
Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, условимся
называть линиями проекционной связи.
Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти
находится данная точка. Так, если точка В расположена во второй четверти,
то после совмещения плоскостей обе проекции окажутся лежащими над осью OX.
Если точка С находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция
после совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX.
Наконец, если точка D расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее
окажутся под осью OX. На рисунке показаны точки М и N, лежащие на
плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих
проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX. Эта
особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которой
совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса.
Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так
будет, если точка находится во второй или четвертой четверти на одинаковом
расстоянии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой,
если последняя расположена на оси OX.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.
Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в
пространстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой
совокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции
предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму.
Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных
инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных
проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж
более ясным, удобочитаемым.
Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке. Третья плоскость,
перпендикулярная и H и V, обозначается буквой W и называется профильной.
Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а
обозначают их заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (aз, bз, cз, ...
1з, 2з, 33...).
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси: ОX, ОY и ОZ,
которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат
в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на рисунке,
соответствует «правой системе» координат.
Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов —
это так называемые октанты. Нумерация октантов дана на рисунке.
Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет,
находится в первом октанте.
Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до
совмещения с плоскостью V. В результате вращения передняя полуплоскость H
оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H
— с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ передняя
полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V, а задняя
полуплоскость W — с левой полуплоскостью V.
Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На
этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в не подвижной плоскости V, изображены
только один раз, а ось ОY показана дважды. Объясняется это тем, что,
вращаясь с плоскостью H, ось ОY на эпюре совмещается с осью ОZ, а вращаясь
вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX.
В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX, —
ОY, — ОZ) указываться не будут.
ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для
определения ее положения в пространстве или на поверхности.
В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью
прямоугольных декартовых координат х, у и z.
Координату х называют абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса
х определяет расстояние от данной точки до плоскости W, ордината у — до
плоскости V и аппликата z - до плоскости H. Приняв для отсчета координат
точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во
всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная
координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).
Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта
точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте
Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора
ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k — единичные векторы,
направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то
ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ,
ОАУ, ОАг — координаты вектора ОА
Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной
модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного
прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О
откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих
отрезках ( Оax , Оay , Оaz ), как на ребрах, строят прямоугольный
параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет
определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А
достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например Оax , axa1
и a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребра образуют координатную
ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей
координатой точки.
Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А,
но и все три ее ортогональные проекции.
Лучами, проецирующими точку на плоскости H, V, W являются те три ребра
параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.
Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на
плоскости, определяется только двумя координатами.
Так, горизонтальная проекция a1 определяется координатами х и у,
фронтальная проекция a2 — координатами х и z, профильная проекция a3 —
координатами у и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами.
Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя
координатами.
На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a1 и a2
окажутся на одном перпендикуляре к оси ОX, а проекции a2 и a3 — на одном
перпендикуляре к оси OZ.
Что касается проекций a1 и a3 , то и они связаны прямыми a1ay и a3ay ,
перпендикулярными оси ОY. Но так как эта ось на эпюре занимает два
положения, то отрезок a1ay не может быть продолжением отрезка a3ay .
Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам
выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала
координат откладывают отрезок Оax = х (в нашем случае х = 5), затем через
точку ax проводят перпендикуляр к оси ОX, на котором с учетом знаков
откладываем отрезки axa1 = у (получаем a1 ) и axa2 = z (получаем a2 ).
Остается построить профильную проекцию точки a3 . Так как профильная и
фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре
к оси OZ , то через a3 проводят прямую a2az ( OZ.
Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси ОZ должна
находиться a3 ?
Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого
aza3 = Oay = axa1 = y заключаем, что искомое расстояние aza3 равно у.
Отрезок aza3 откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у