Уравнения Курамото-Цузуки

Дубровский А.Д., Заверняева Е.В.

Введение

На текущий момент разработано ряд математических моделей вида реакции-диффузии:

(Q1, Q2 - нелинейные функции; λ - параметр системы)

(1)

в областях:

Химии

Пример. Автокаталитическая реакция.

Для этой реакции соответствует задача:

Экологии

Теории морфогенеза

Физики плазмы

Теории горения

Другие

Требуется:

классифицировать качественное поведение решения уравнений (1) в зависимости от различных правых частей

классифицировать системы вида (1)

В работе 1975 года Курамото и Цудзуки сделали вывод, что у большинства диссипативных систем существует аналог термодинамической ветви. При всех значениях параметра, исследуемые уравнения имеют однородное по пространству стационарное решение. Это решение устойчиво при λλ0) определяется спектром линеаризованной задачи для уравнения (1) в окрестности точки бифуркации λ0. Уравнение, предложенное Курамото и Цудзуки, описывает поведение в окрестностиλ0, вида:

(2)

Функция W(R, T) - характеристика отклонения решений системы (1) от пространственно-однородного решения. Таким образом, уравнение (2) описывает только случаи, когда при λ>λ0 решение остается в малой окрестности термодинамической ветви.

Без ограничения общности, в уравнении (2) можно положить с0=0, в этом можно убедится сделав замену переменных W=W´exp(i c0 t). И так получается, вторая краевая задача при условии, что потоки на границе равны нулю:

(3)

Упрощенная модель

Предположим, что в изучаемом решении системы (3) есть только две моды:

(4)

Остальными пренебрежем, поскольку коэффициенты Фурье решений быстро убывают с ростом их номера. Коэффициент k будем выбирать так, чтобы выполнялись граничные условия задачи (3), например: k=π/l. Подставим (4) в (3) и отбросим все члены, куда входит cos(πmx/l), m>1, считая, что они пренебрежимо малы.

(5)

Пусть (для удобства), то получается соотношения:

(6)

Сделаем замену переменных в (6)

(7)

Двухмодовая система

Рассмотрим систему (7).

Простейшие решения

ξ=0, η=0, θ=2c1k2t+const – неустойчивый узел в системе (5).

ξ=0, η=0, θ= θ(t), c12k4+2c1c2k2-1=0 – две особых точки седло и устойчивый узел. Узел теряет устойчивость на линии (c12+1)k4+2k2(1+c1c2)=0.

ξ=0, P(c1,c2,k)=(9c12+6c1c2-4-3c22)k4-2k2(3c1c2-4-3c22)-(4+3c22)

P(c1,c2,k)≤0, k-(4k2-1)2.

P(c1,c2,k)>0 – инвариантная прямая, при k∞. Сделаем замену переменных следующим образом:, получаем

(8)

Систему (8) имеет ограниченное решение при z>0. Особые точки и решения, которые возникают при x=0 или y=0, рассмотрены выше.

Далее ограничим задачу, будем рассматривать систему (8) только при k=1.

Режимы

Система (8) - модель, в которой возникают различные режимы:

Стационарный

Простой предельный цикл

Пример. c1=3,c2=-4;k=1;

Сложный предельный цикл

Атрактор

Не исключено проявление квазиатрактора

Данное проявление связанно с существованием нескольких различных в пространстве предельных областей, эти области могут находиться на очень близком расстоянии. В результате при численном анализе, траектория может скакать с одного решения на другое. Пример, существования двух областей притяжения на рис. при c1=1.21, c2=-9, k=1.0.

Бифуркации

На рисунке показана карта бифуркаций в области обцыса c1=[1; 8], ордината c2=[-5; -5.67], k=1 с шагом 0.01 по параметрам c1 и c2.

Каждой точке соответствует пара c1, c2 и цвет, обозначающий

красный - хаотическое поведение

синим - бифуркация удвоения периода

черным - остальные бифуркации пер

Список литературы

Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. "Введение в синергетику": Учеб. руководство. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990. - 272с. - ISBN 5-02-014475-4

Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. "О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации". - УДК 517.958

Малинецкий Г.Г. "Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику." - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 256 с. - ISBN 5-8360-0132-4