Логика Космоса (физика античной Греции)
А.Ю.Грязнов, физический факультет МГУ
"Космос" в переводе с греческого означает "устройство", "порядок", "украшение". И этим же словом греки назвали Вселенную. Мир в античном восприятии представлялся как упорядоченное по законам логики и гармонии мироздание, существующее ради высшего (божественного) блага. Отдельный человек и общество в целом должны быть, подобно Космосу, гармоничным единством - малым космосом. "Гармония" по-гречески означает "связь", "созвучие", "согласие".
Идея гармоничного единства мира и человека впервые была выражена в философии природы, начало которой положил Фалес (примерно 625 - 547 гг. до н. э.). Стремясь укрепить веру в силу человеческого разума, ранние греческие философы отрицали существование принципиально не постижимых чудес. Они смело брались за объяснение всех явлений окружавшего их мира. На этом пути были совершены удивительные открытия в области теоретического мышления. Некоторые из них привели к постановке таких проблем, которые в конце концов оказались не по зубам греческому мышлению. К ним относятся, например, знаменитые парадоксы, сформулированные Зеноном в V веке до н. э. В полной мере они не разрешены и по сей день.
"Все есть живая вода"
Примерно за 600 лет до нашей эры один из "семи мудрецов" Эллады по имени Фалес высказал загадочное утверждение - "все есть вода". Все возникает из воды и в воду же обращается после своего уничтожения. Так впервые была воплощена мысль о единстве мира.
Утверждение Фалеса явно противоречит повседневному опыту, оно парадоксально. Разве земля и небо, горы и облака, деревья и животные - это вода? Может быть, в организмах живых существ и содержится довольно много влаги, но этого еще недостаточно для того, чтобы утверждать, что все есть вода. По-видимому, мудрец из ионийского города Милета имел в виду что-то другое - неочевидное, но очень важное для греков.
Мы очень мало знаем о Фалесе. Сочинения его до нас не дошли. Более или менее достоверно известны несколько утверждений Фалеса да названия некоторых его сочинений, написанных в прозе: "О началах", "О солнцестоянии", "О равноденствии", "Морская астрология". Однако в истории человеческой мысли существует традиция рассказывать о Фалесе как о первом философе и ученом.
Попытаемся и мы восстановить рассуждения Фалеса, которые могли привести его к столь необычным взглядам. Предположим, что Фалес пришел к ним путем доступных всем логических построений, исходя из запрета на сверхъестественное объяснение возникновения единого в своей основе мира.
Из ничего мир возникнуть не мог, иначе случилось бы чудо. Следовательно, наш мир мог возникнуть только из какого-то другого мира. Если между этими мирами нет ничего общего, то переход от другого мира к нашему был бы поистине чудесным. По сути это было бы рождением из ничего, что невозможно. Мы вынуждены признать, что существует общее начало, связывающее старый мир и возникающий из него новый.
Это единое начало отличается и от старого, и от нового миров, иначе не было бы никакого возникновения нового из старого. Но все, что мы можем наблюдать, есть новый мир по сравнению со старым (он же есть старый мир по сравнению с тем, который будет). Следовательно, общее начало всех возможных миров не наблюдаемо в принципе. Поэтому единую первооснову всего возникающего нельзя себе представить, хотя мы вполне понимаем, о чем говорим. Выходит, что понимать (мыслить) и представлять - это не одно и то же.
Для того, чтобы легче было понять то, что нельзя представить, целесообразно прибегнуть к аналогии. Следует подобрать такое вещество, которое как можно меньше выделяется своими свойствами, с одной стороны, и имеет наглядную возможность превращаться в различные состояния, с другой. На роль такого вещества хорошо подходит именно вода. Ведь она бесцветна, безвкусна, не обладает запахом, ей не присуща какая-то определенная форма. Вода может превращаться из жидкости в твердое состояние и может испаряться. Получается, что образ чувственно данной воды вполне может помочь мыслить "воду" как понятие, обозначающее единую первооснову всех состояний меняющегося мира. Чувственно воспринимаемая вода есть возникшая вещь, часть мира, и возникла она из "воды" как первоначала. Эта "вода" - уже не вещество, воспринимаемое чувствами, не та вода, которую мы пьем, которая течет в реках и находится в морях. Это философская категория - абстрактное понятие, которому не соответствует какое-либо наглядное представление, но которое лежит (вместе с другими категориями) в основе научного познания.
Если не признавать единства всех наблюдаемых явлений, то мира как такового нет, а есть случайный набор не связанных между собой картин, которые не принадлежат одному и тому же миру. И тогда все превращается в иллюзию, в сон с беспорядочно следующими друг за другом сюжетами. Такой тип философии возник в Древней Индии.
Греки же находили мудрость в том, чтобы все понять как проявление чего-то одного. Именно к этому стремился Фалес. Все в мире произошло из воды как из первичного строительного материала. После Фалеса за этот материал принимали воздух, огонь и т.д. Осталось же в науке то название, которое предложил Аристотель - "лес". По-гречески "лес" - "гиле". Римляне, осваивая греческую философию, перевели это слово на свой язык: по-латыни "строительный лес" - "материес". Материю как первооснову мира греки также называли "архэ", что означает "начало".
Возникает вопрос о той движущей силе, которая приводит к возникновению вещей из воды, понимаемой как архэ. Эта причина движения, изменения, возникновения и уничтожения должна быть внутренне присуща самой материи, должна пронизывать ее, но в то же время быть чем-то отличной от нее. Что же это как не мировая душа? "Все в мире полно богов", говорил Фалес, имеяя в виду одущевленность всех вещей. В душе находится первоисточник движения и любого изменения вообще. Поэтому вода Фалеса одушевлена, она живая и содержит причину своих превращений в себе самой.
Такой взгляд на мир получил в XVII веке название "гилозоизм" (от греческих слов "гиле" - лес, материя и "зоос" - живой). Гилозоистами были Джордано Бруно, Дени Дидро, И.В.Гете и другие. Согласно гилозоизму, "материя никогда не может существовать и быть деятельной без духа, а дух - без материи" (Гете). Гилозоизм с самого начала рассматривает всю материю как одушевленную. Первым философом-гилозоистом был Фалес. Ярким примером проявления одушевленности материи он считал способность магнита притягивать железные предметы. Магнит, таким образом, обладает душой.
Ученик Фалеса Анаксимандр (около 610 - 546 гг. до н. э.), развивая учение учителя, выдвинул идею о неопределенности первоначала мира не только в качественном, но и количественном отношении. Так возникла мысль о бесконечности Вселенной и о множественности миров. Есть основание полагать, что Анаксимандр впервые высказался о шарообразности нашего мира, а может быть, и Земли (об этом свидетельствует знаменитый автор III века н. э. Диоген Лаэртский). По-видимому, Анаксимандр мог бы вмешаться в спор о приоритете в этом вопросе с Пифагором и Парменидом, хотя есть также указания на то, что он считал Землю цилиндром. Анаксимандру приписывают изобретение солнечных часов, составление первой географической карты, систематизацию геометрических утверждений.
Попробуем понять, как Анаксимандр мог придти к своим представлении о Вселенной. Первоначало мира он называет "апейроном", что в переводе с греческого означает "беспредельное". Апейрон сам по себе не обладает ни качественными, ни количественными характеристиками. Он вечен и бесконечен в пространстве. Все произошло из апейрона. Нет основания полагать, что выделившийся из него мир не подобен шару. В самом деле, как мироздание может оказаться не центрально-симметричным, если сам апейрон не имеет в себе выделенных направлений? Более того, он не имеет какой-либо выделенной точки. Следовательно, мир не может возникнуть в единственном экземпляре (иначе центр мира был бы выделенной точкой). Поэтому миров должно быть много, и все они должны быть шарообразны.
Анаксимандр создал картину, объяснявшую в нашем мире, наверное, все. Сначала выделилось из вечного апейрона горячее и холодное. Образовалась огненная сфера, в центре которой возникла Земля с водной и воздушной оболочками. Затем огненная сфера разорвалась и замкнулась в несколько колец, их окружил плотный непрозрачный воздух. В воздушных оболочках колец, образовались отверстия, которые люди воспринимают как Солнце, Луну, планеты и звезды. Затмения Солнца и Луны, а также ее фазы объясняются закрытием и открытием этих отверстий. Солнечное кольцо в 27 раз больше Земли, а лунное - в 19. Ближе других находится кольцо "блуждающих" звезд, т.е. планет. Откуда Анаксимандр получил эти данные, неизвестно. Земля первоначально была покрыта водой. Вода постепенно испарялась, оставаясь лишь во впадинах - так образовались моря. Высыхая от жары, Земля покрывается трещинами, в которые проникает воздух - это приводит к землетрясениям. Первые животные возникли во влажном месте и были покрыты колючей чешуей. Постепенно они стали выходить на сушу, и из них возникли земные животные и люди.
Годы жизни ученика Анаксимандра Анаксимена известны очень приблизительно (588 - 525 гг. до н. э.). Не исключено, что он дожил до разрушения Милета персами в 494 году. Его книги, написаные, по свидетельствам более поздних авторов, простым и понятным языком, до нас не дошли. Он назвал первоначало воздухом, отказавшись от термина "апейрон". Возможно, Анаксимен хотел подчеркнуть в самом названии первоначала его живую сущность. Ведь воздух и дыхание - в греческом языке слова однокоренные (как и в русском). Также Анаксимен мог полагать, что апейрон Анаксимандра слишком абстрактен, не имеет чувственного аналога, а потому не выполняет роли образа первоначала, помогающего легче его понять. Воздух по своим качествам достаточно неопределенен: равномерно распространенный и неподвижный, он незаметен для чувств, становясь ощутимым вследствие движения, сгущения и разрежения. Так, ветер есть движущийся уплотнившийся воздух, а облако - это уплотненный ветер. Холодное есть сгустившийся воздух, а теплое - разреженный. Если человек выпускает изо рта воздух при плотно сжатых губах, сгущая его, получается холод. Если же рот широко открыт, то воздух разрежается и образуется теплота. Все возникло, таким образом, из воздуха как первоначала.
Анаксимен считал Землю плоской подобно диску. Это дало ему возможность объяснить механизм удерживания Земли в безграничном воздухе. Земля просто парит в нем. Солнце, Луна и планеты приводятся в движение космическим ветром. Звезды прикреплены к хрустальному небесному своду, который вращается вокруг Земли. Затмения Солнца и Луны, а также ее фазы Анаксимен объяснял тем, что светила поворачиваются к Земле то светлой, то темной своей стороной. Град образуется из замерзшей воды, падающей из туч. Дождь выпадает из сгустившегося воздуха. Молния и гром возникают из-за того, что ветер резко разрывает облака. Радуга - результат падения солнечного или лунного света на облако, одна часть которого из-за этого накаляется, другая остается темной. Землетрясения возникают вследствие растрескивания земли при засухе или проваливания отдельных ее участков при сильном увлажнении.
Итак, мы видим, что представители милетской философии природы смело берутся за объяснения явлений космического и земного масштабов по аналогии с известными из обыденного опыта фактами. Фалес, Анаксимандр и Анаксимен задали на тысячелетия стиль научного мышления: объяснять неизвестное через известное. Физики XVII-XX веков зачастую мыслили так же. Например, Кельвин в XIX столетии пытался объяснить природу энергии Солнца на основе термодинамики: Солнце, по его мысли, сжимается, в результате чего происходит выделение тепла.
"Не мне, но Логосу внимая..."
Проблемы, поставленные милетскими мыслителями, продолжил разрабатывать философ, которого уже сами древние прозвали темным. Возможно, не только из-за того, что он в старости ослеп, но и из-за того, что его учение было слишком трудным для понимания. Речь идет о Гераклите из ионийского города Эфеса. Родился он примерно в 544 году до н. э., а когда умер - неизвестно. Прочитав его философское прозаическое сочинение, которое называлось так же, как и труды Анаксимандра и Анаксимена, - "О природе", Сократ сказал: "То, что я понял, превосходно. Думаю, таково и то, что я не понял. Впрочем, для этого нужен делосский водолаз". Действительно, чтобы понять всю глубину мысли Гераклита, нужно "нырять" очень глубоко.
Главная проблема, над решением которой бился Гераклит, может быть выражена в виде парадокса. Откуда берется новое? Если из старого, то оно не новое. Если же не из старого, то из ничего. Но из ничего не может возникнуть ни одна вещь. Следовательно, новое невозможно.
Этот "парадокс возникновения" актуален для ионийской философии природы. В самом деле, как из первоначальной стихии (воды ли, воздуха ли - неважно) появляется мир? Ведь возникший мир должен быть чем-то новым по отношению к тому, из чего он возник. Но как можно понять появление нового?
В новом, с одной стороны, должно быть то, чего раньше не было. Но, с другой стороны, это новое должно было каким-то образом уже содержаться в старом, иначе для его возникновения не было бы основания.
Однако если новое по отношению к старому есть действительно новое, то его в старом еще нет. Следовательно, оно для старого есть небытие. И это небытие должно каким-то образом присутствовать в уже имеющемся бытии, для того чтобы стать в конце концов бытием.
Таким образом, бытие и небытие должны сосуществовать. Только при этом условии возможно рождение нового - оно появляется в результате борьбы между бытием и небытием. Следуя Гераклиту, можно провозгласить, что все существует и одновременно не существует, потому что все течет, все изменяется.
Гераклит вскрывает проблему, неразрешенную милетскими мыслителями (они до нее просто не добрались). Где же тогда искать то единство мира, которое было необходимо греческому духу? Ведь "признак мудрости - согласиться, внемля не мне, но Логосу, что все едино". Так говорит Гераклит. Мало только материального единства мира, ведь и небытие должно существовать!
Гераклит делает следующий шаг после милетских мыслителей. Он утверждает единый закон перехода небытия в бытие, и наоборот. Этот закон и есть Логос. Все происходит закономерно, подчиняясь космическому Логосу. Сам Логос неизменен. Его никто не может отменить или переиначить. Даже богам это не под силу. Именно Логос связывает Вселенную в единый, закономерный, упорядоченный, вечно изменчивый Космос. Единство мира Гераклит усматривает как в материальной первооснове всего существующего, так и в единой закономерности всех изменений и различий в нем. Постоянно лишь одно закономерное непостоянство. Следовательно, можно сделать смелый вывод о вечном существовании мира, изменчивого и одновременно неизменного в закономерности своего изменения: "Этот Космос, один и тот же для всего сущего, не создал никто из богов и никто из людей, но он всегда был, есть и будет вечно живым огнем, мерами загорающимся и мерами потухающим". Непрерывно меняющийся, но остающийся самим собой огонь Гераклита - это образ, символизирующий постоянную закономерную изменчивость всего происходящего и ее материальную основу. "Все обменивается на огонь и огонь - на все, как на золото - товары и товары - на золото". Изменение есть "путь вверх-вниз", и по нему движется мир. "Сгущающийся огонь исходит во влагу, уплотняется в воду, а вода крепнет и оборачивается землей - это путь вниз. И с другой стороны, земля рассыпается, из нее рождается вода, а из воды - все остальное... - это путь вверх". В действительности "путь вверх и путь вниз один и тот же".
Пронизанный Логосом огонь "правит" миром и "судит" его. "Суд над миром и всем, что в нем есть, совершается через огонь". Ибо "все грядущий огонь будет судить и осудит". Наступит мировой пожар, в котором все сгорит, но затем опять возродится. И так - до бесконечности.
Знание Логоса есть высшая мудрость, которая открывается далеко не всем. Космос говорит через избранных, к которым и причисляет себя Гераклит. "Тайная гармония лучше явной", впрочем "ослы солому предпочли бы золоту".
Полагая, что через него говорит не то оракул, не то вещая Севилла, или, может быть, сам Космос, Гераклит изъяснялся загадочно, оформляя свои мысли в афоризмы - краткие запоминающиеся своей глубиной изречения. "В одну и ту же реку нельзя войти дважды", т.к. на входящего в нее текут каждый раз новые воды. И все же это одна и та же река, хотя она и течет.
"Кто б мог для утоленья жажды,
Сняв под кусточком башмаки,
Сбежать по берегу и дважды
Напиться из одной реки? ", -
риторически вопрошает, подражая Гераклиту, современный поэт Е.Винокуров.
"В нас одно и то же живое и мертвое, бодрствующее и спящее, юное и старое. Ибо это, изменившись, есть то, и обратно, то, изменившись, есть это". Каждая вещь, по мысли Гераклита, изменчива, текуча. Все непрерывно течет, все постоянно изменяется, говорил его ученик Кратил, а поэтому в одну и ту же реку нельзя войти и один раз, потому что пока входишь, она уже изменилась. Однако, по Гераклиту, если бы у текучего не было единой неизменной основы, то оно не было бы изменяющейся вещью. Каждая вещь, таким образом, есть единство изменчивости и неизменного. В ней есть то, что сохраняется (ее постоянное), и то, что не сохраняется. Если же разрушается постоянное вещи, то исчезает и сама вещь, хотя материя ее разрушится не может, т.к. она вечна.
Изменчивое и неизменное - это противоположности. Следовательно, каждая вещь есть единство и в то же время борьба противоположностей, ведь противоположности на то и противоположности, что они не могут мирно сосуществовать, они находятся в состоянии войны. "Должно знать, что война общепринята, что вражда - обычный порядок вещей, и что все возникает через вражду заимообразно", т.е. одно - за счет другого и наоборот. "Гомер, молясь о том, чтобы вражда сгинула меж богами и меж людьми, сам того не ведая, накликает проклятие на рожденье всех существ", ибо они рождаются в силу противоборства и противодействия. Выходит, что без противоречия, без борьбы между противоположностями нет движения и изменения, не возникает ничего нового.
"Движенья нет!"
Учение Гераклита Эфесского о неизменном в своей изменчивости мире явилось вершиной ионийской философии природы. Стержнем этого учения стала смелая мысль о единстве и борьбе противоположностей как источнике всякого движения, всякого изменения вообще. В чистом виде эта мысль была выражена в утверждении о подвижном сосуществовании бытия и небытия. Возникновение нового можно мыслить как переход небытия в бытие и наоборот. Но для этого то, чего еще нет (небытие) должно существовать в том, что уже есть. В этом заключается решение парадокса возникновения, ярко осознанного Гераклитом.
И все же это решение далось слишком дорогой ценой - пришлось отказаться от святая святых научного мышления, от закона недопустимости противоречия (или, по-другому, закона противоречия, как этот закон часто называют для краткости): нельзя одному и тому же приписывать взаимоисключающие характеристики. Например, нельзя одновременно в одном и том же смысле существовать и не существовать. Но не это ли утверждает Гераклит, когда говорит о существовании небытия? Ведь получается, что существует то, чего не существует, бытие и небытие суть одно и то же. Налицо явное нарушение закона противоречия.
С такой постановкой дела в решении парадокса возникновения никак не могли согласиться представители другой ветви древнегреческой философии природы, появившейся и окрепшей на территории современной Италии в городе Элея. Основателем школы элеатов был поэт-философ Ксенофан (около 565 г. - после 473 г. до н. э), его учеником был Парменид, написавший для Элеи законы и учивший Зенона - самого знаменитого элеата.
Парменид изложил свои взгляды в поэме, от которой до нас дошли лишь фрагменты. Логика Парменида поражала современников. Она приводила к парадоксальным выводам при, казалось бы, строгой последовательности рассуждений.
Существует только то, что существует, а несуществующее не существует. Или, как говорил Парменид, есть только бытие, а небытия нет вовсе. Это соответствует логике, ведь признать, что небытие есть, значит допустить логическую ошибку. Если мы хотим построить учение о природе, согласное с логикой, то небытию в нем нет места. Однако из этого вытекает странное утверждение о том, что бытие едино и неизменно. В самом деле, если бытие состоит из частей (множественно), то что отделяет одну часть бытия от другой? Граница, отделяющая части бытия друг от друга, может быть только тем, что не является бытием. Но только небытие не является бытием. Следовательно, если небытия нет, то нечему разграничивать части бытия, и бытие едино.
Бытие также неизменно, потому что бытию не во что изменяться, ведь оно могло бы измениться только в то, что не есть бытие, т.е. в небытие, а небытия нет. Таким образом, истинное бытие, то, что существует по истине, едино и неизменно. И если мы наблюдаем мир, разделённый на части и изменяющийся, то он не соответствует логике. Значит, множественный и изменчивый мир не есть истинное бытие.
Парменид говорит о существовании двух миров - мира истины, о котором только и возможно высказывать истинные суждения, и мира мнения, о котором можно высказываться лишь более или менее правдоподобно. Мир истины постигается умом. Мир мнения дан нам в чувственном восприятии. Парменид впервые сумел понять и ярко выразить это различие, поставив тем самым перед будущими поколениями проблему соединения умопостигаемого мира, который един и неизменен, с чувственным миром, который множественен и изменчив.
Широкую известность получили парадоксы Зенона Элейского, так называемые "апории". По-гречески а - отрицание, порос - выход, апория - "затруднение, безвыходное положение". В своих апориях Зенон приводит аргументы против возможности мыслить движение, множественность и пространство. Самыми знаменитыми являются апории против движения, о которых мы и поговорим.
Зенон доказывал, что движение не мыслимо, хотя и представимо. Сочинения самого Зенона до нас не дошли, но мы знаем о его аргументах против движения из работ более поздних авторов, в которых, как правило, упоминаются четыре апории такого рода: "Стрела", "Стадий", "Ахиллес" и "Дихотомия".
Апория "Стрела"
Это главная апория против движения. Три остальные возникают при попытке решить апорию "Стрела" путем отказа от представления о бесконечной делимости пространства и времени.
Стрела движется либо там, где она находится, либо там, где она не находится - третьего не дано (tertium non datur - лат.) Второе отпадает, т.к. стрела не может двигаться там, где ее нет. Значит, ей остается двигаться только там, где она находится. Но может ли тело двигаться в том месте, которое оно занимает? Если нет, то стрела вообще не может двигаться.
Аристотель передает аргументацию Зенона так: "Если всегда всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе месте, а перемещающееся тело в момент теперь всегда находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна". Однако, указывает Аристотель, в каждом месте, проходимом летящей стрелой, она не может покоиться, т.к. это означало бы, что стрела находилась бы в одном и том же месте не мгновение, а промежуток времени.
Выход из этой "безвыходной ситуации" заключается в признании того, что движущееся тело всегда движется именно в том месте, которое оно в данный момент времени занимает. Однако просто признать мало, надо еще это понять. Иными словами, апория Зенона ставит вопрос о понятии движения.
Заслуга Зенона состояла в том, что он убедительно показал отсутствие у греков понятия мгновенной скорости. В самом деле, если скорость есть отношение пути ко времени его прохождения, то как можно говорить о скорости в данный момент времени, когда ни пути, ни времени его прохождения нет? Даже если брать все более малые промежутки времени и соответствующие им пройденные пути, все равно это конечные, а не бесконечно малые времена и длины. Ведь бесконечно малое это операция ума, а не самое малое, которое можно представить. Пока у нас не будет понятия производной функции (которое появилось через 2000 лет после Зенона), ничего не получится. Да и с этим понятием тоже возникают проблемы, потому что понятие функции опирается на понятие множества, а в теории множеств были открыты такие парадоксы, которые в полной мере не разрешены до сих пор. Рассмотрим один из них.
Множество натуральных чисел, каждое из которых можно определить с помощью не более сотни слов, конечно. Возьмем наименьшее число, не входящее в это множество.
Предыдущий абзац есть осмысленный текст, содержащий не больше сотни слов и однозначно задающий число, которое по самому своему определению не может быть определено такого рода текстом. Парадокс!
Выходит, что Зенон поставил не просто проблему, актуальную и в наши дни. Он осознал то препятсвие, которое стояло на пути у всей греческой науки. Греки так и не смогли взять этот барьер. Только избранные из них, такие как Евдокс и Архимед, сумели нащупать подходы к нему. Лишь с распространением христианского образа научного мышления Ньютон и Лейбниц создали интеллектуальный аппарат для освоения понятия движения.
Если закрыть глаза на парадоксы теории множеств и спокойно пользоваться математическим анализом, то можно посматривать на Зенона свысока и удивляться, как это он не додумался до столь "очевидных" вещей. Так, известный французский математик Поль Леви, имея в виду апорию "Ахиллес и черепаха", воскликнул: "Почему воображать себе, что время остановит свой ход вследствие того, что некий философ занимается перечислением членов сходящегося ряда? ...Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущенными этим парадоксом... Ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс, ...я резюмировал тогда немногословной формулой: "Этот грек был идиотом". Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, быть может, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников".
Апории Зенона никогда не переставали волновать математиков и физиков. В науке XIX-XX веков споры о них разгорелись с новой силой. Одни ученые видели в них глубокий смысл, другие утверждали, что это не что иное, как ловкие софизмы. История науки показывает, однако, что если о чем-то долго спорят, то это неспроста.
Сохранилось забавное предание. Знаменитый философ-киник Диоген, выслушав Зенона, в качестве ответа начал пред ним ходить, демонстрируя наличие движения. Об этом А.С. Пушкин написал остроумное и проницательное стихотворение "Движение".
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
Действительно, не всегда то, что мы видим, есть истина. Нельзя логику опровергать с помощью чувственных наблюдений. По преданию Зенон ответил Диогену-кинику в ответ на его хождение: "Разумом ты разреши труднейшую эту задачу!"
Глубина апорий
Уже во времена Зенона существовали взгляды, согласно которым пространство и время не делимы до бесконечности, а состоят из цельных неделимых частей - атомов пространства и атомов времени (в XX веке сказали бы "квантов" пространства и времени). С этих позиций движение острия стрелы представляет собой последовательный переход из одной неделимой "ячейки" пространства (в которой это острие покоится некоторое время, состоящее, может быть, из нескольких неделимых временных единиц) в другую. На этот элементарный переход требуется ровно один квант времени, ведь не может же острие мгновенно переместиться из одного места в другое (это было бы чудом, а в науке чудеса не рассматриваются). Важно отметить, что бессмысленно спрашивать, где находится острие, когда оно вышло из одной ячейки пространства, но еще не пришло в соседнюю. Ведь мы не имеем права разбивать неделимый квант времени на части, и поэтому никакого промежуточного момента времени (между началом и концом временного кванта) в этой теории не существует. Да и не существует того промежуточного места, где могло бы поместиться острие в промежуточный момент времени (если бы он существовал), потому что пространство квантованно, и острие может только скачками (но не мгновенно!) перемещаться из одного места в другое.
В этом случае стрела не движется в том месте, где она находится - в каждом из таких мест она покоится. Также стрела не движется там, где ее нет (что естественно). Стрела по истине (т.е. с точки зрения разума, логики) вообще не движется. А то, что мы воспринимаем чувствами как ее движение, есть данность именно чувств, а не ума. Для ума чувственно данное движение есть иллюзия, задача мышления заключается в том, чтобы свести движение к покою.
Быстрое от медленного отличается в теории квантованного пространства-времени тем, что в каждом атоме пространства быстрое находится в течение меньшего количества единиц (атомов) времени, нежели медленное. Казалось бы, апория разрешена. Движение стало чувственной видимостью, на самом же деле (т.е. по логике) существует только покой. Но здесь нас подстерегает новая трудность - апория "Стадий" (или "Стадион").
Апория "Стадий"
Если пространство и время состоят из атомов (неделимых ячеек и временных промежутков), то часть равна целому. Доказывается это положение так. Пусть на стадионе бегут навстречу друг другу с одинаковыми скоростями две колонны атлетов мимо неподвижной третьей. Пусть также все атлеты из каждой колонны находятся в соседних атомах пространства, в которых бегущие пребывают одну неделимую часть (единицу) времени и одну единицу времени затрачивают на переход из одного атома пространства в другой (соседний). В этом случае движение окажется самым быстрым. Тогда каждая из движущихся колонн в течение времени, которое нужно для того, чтобы пройти мимо, например, двух неделимых частей неподвижной колонны, т.е. за четыре неделимые единицы времени, пройдет мимо четырех неделимых частей другой движущейся колонны. Спрашивается: сколько на это понадобится единиц времени? Если тоже четыре, то получается, что четыре неделимые ячейки пространства пройдены за четыре единицы времени. Но это в теории квантованного пространства-времени невозможно, т.к. переход из одной ячейки в соседнюю осуществляется за один квант времени, и, по крайней мере, один квант времени атлет должен находиться в каждом атоме пространства. Следовательно, для прохождения одной движущейся колонны атлетов мимо другой колонны, движущейся в противоположную сторону, в этом случае надо затратить восемь единиц времени (именно восемь, а не четыре, как это было бы в случае бесконечной делимости пространства и времени). Но ведь прошло-то одно и то же время! Получается, что 4=8, а это абсурдно.
Разумеется, приведенное рассуждение справедливо только в случае квантованности пространства и времени и совершенно не состоятельно, если этой квантованности не существует. Выходит, что попытка разрешить апорию "Стрела" с помощью теории квантованного пространства-времени приводит к новой неразрешимой ситуации, т.е. к новой апории.
Но предположим, что пространство бесконечно делимо, а время квантованно. Пытаясь решить апорию "Стрела", мы можем использовать и такой подход. Тогда траекторию движущейся точки можно разбить на отрезки, соответствующие отдельным квантам времени. В каждый момент (квант) времени точка находится на соответствующем отрезке и движется со скоростью, равной отношению длины этого элементарного отрезка к единице (кванту) времени. Разбивать элементарные отрезки на более мелкие в этом случае бессмысленно и невозможно. Бессмысленно потому, что нельзя сказать, какую из частей элементарного отрезка точка проходит раньше, а какую позже, т.к. внутри кванта времени нет ни "раньше", ни "позже". Невозможно же потому, что на переход из одной части пространства в другую требуется некоторое время, а внутри элементарного отрезка время неделимо. Казалось бы, такой подход позволяет мыслить движение примерно так же, как и в случае квантованного пространства- времени, с той лишь разницей, что пространство не "само" (в силу своей квантованности) разбито на ячейки, а разбивается нами в соответствии с указанной процедурой. В этом случае аргументы "Стадия" будут бить мимо цели.
Однако здесь Зенон приготовил нам новые трудности - апории "Дихотомия" и "Ахиллес".
Апория "Дихотомия" ("Деление пополам")
Движущееся тело, прежде чем пройти весь путь, должно пройти его половину, а еще ранее оно должно пройти половину от этой половины, т.е. четверть всего пути, а перед этим - половину четверти, т.е. восьмую часть целого, и так далее до бесконечности, ведь пространство непрерывно. Если на прохождение каждой "половины" (а их бесконечно много) потребуется хотя бы один квант времени (который конечен, а не бесконечно мал), то общее время прохождения отрезка любой наперед заданной длины равно бесконечности. И мы опять попадаем в безвыходное положение. Апория, одним словом!
Апория "Ахиллес"
Эта апория (иногда ее называют "Ахиллес и черепаха") объединяет в себе трудности, встречающиеся в других апориях. Она говорит о том, что быстрое (Ахиллес) теоретически не может догнать медленное (черепаху), хотя на практике бегущий человек с легкостью догоняет и обгоняет ползущую черепаху. В самом деле, преследующему необходимо сначала достичь места, откуда уже двинулось убегающее, так что медленное всегда имеет некоторое преимущество.
а) Пусть пространство и время делимы до бесконечности.
Для проведения рассуждения в чистом виде рассмотрим прямую линию, на которой отметим две точки А (Ахиллес) и Ч (черепаха). Пусть между ними окажется расстояние l. Теперь представим, что эти точки одновременно начали двигаться в одну сторону, но с разными скоростями, причем vА > vЧ . Казалось бы, не должно возникать никаких проблем при определении времени, через которое Ахиллес догонит черепаху; оно равно l / (vА - vЧ). На практике так и получается. Но в теории появляется существенная трудность, если вдуматься в понятие скорости. Что это такое? Греки считали, что скорость есть отношение пути ко времени его прохождения. Путь всегда связывает две отстоящие друг от друга точки. Следует ли отсюда, что скорость - это понятие, относящееся к двум точкам пространства? Если да, то как ответить на вопрос, движется ли точка (обладает ли она скоростью) в каждый момент своего движения, в каждой точке своей траектории. Если движется, то что это означает? Как определить скорость в точке? Можно, конечно, брать все более малые интервалы времени, которым будут соответствовать все более малые участки пути, и, деля второе на первое, получать некоторые значения скорости. Но с точки зрения логики две разные точки, сколь ни было бы мало расстояние между ними, всегда будут разными точками. Поэтому так определяемое понятие скорости относится к двум разным точкам, и мы не можем понять, как точка может двигаться там, где она находится. Т.е. мы опять вернулись к трудности, зафиксированной в апории "Стрела".
Кроме этого, т.к. число шагов в принципе бесконечно, то логически мы решаем все время одну и ту же задачу (черепаха чуть впереди, а Ахиллес ее догоняет) и нисколько не продвигаемся вперед. Получается, так сказать, логическая "зацикленность".
б) Пусть пространство и время не делимы до бесконечности.
В этом случае нельзя говорить о безразмерных точках. И Ахиллес, и черепаха должны быть представл