Механизмы входят в состав любого радиоэлектронного комплекса, являясь частью силовых приводов, устройств регистрации и воспроизведения информации, периферийного оборудования ЭВМ, автоматических манипуляторов и т.п., а несущие конструкции (каркасы и корпуса функциональных узлов, блоков и приборов) служат для размещения на них электрорадиоэлементов и соединительных проводников, т.е. самого радиоэлектронного средства. Поэтому изучение современных методов проектирования, производства и эксплуатации механизмов и несущих конструкций необходимо каждому инженеру, специализирующемуся в области проектировния РЭС.
"Механика РЭС" - первая часть дисциплины "Механизмы и несущие конструкции РЭС" обеспечивает подготовку будущего инженера соответствующей специальности в области теоретических разделов механики, на которых базируются прикладные методы создания механизмов и несущих конструкций, их деталей и узлов, и содержит:
1. Основы теории механизмов.
2. Основы расчетов деталей механизмов на прочность, жесткость и устойчивость.
3. Элементы теории точности механизмов и основы взаимозаменяемости.
В первом разделе излагаются методы анализа и синтеза механизмов - устройств для передачи механической энергии движения и преобразования его параметров, характеристики процессов движения, в том числе колебательных. Особое внимание уделяется проектированию механизмов рациональной структуры, обеспечивающих требуемые значения кинематических и динамических параметров при минимальных потерях энергии и максимальной долговечности, т.е. наиболее полно соответствующих своему целевому назначению.
Во втором разделе рассматривается поведение элементов механизма, нагруженных внешними и внутренними усилиями - напряженное и деформированное состояния материала деталей и методы обеспечения их прочности и надежности. Используя методы этого раздела, можно выбирать свойства материалов, необходимых для изготовления деталей, добиваться рациональной формы последних, определять напряжения и деформации, возникающие при работе механизмов и несущих конструкций, т.е. в конечном счете обеспечить необходимый уровень надежности технического устройства при проектировании и эксплуатации.
Третий раздел посвящен методам обеспечения функциональной взаимозаменяемости механизмов РЭС по параметрам кинематической точности, которые в значительной степени определяют функциональную пригодность всего РЭС. Рассмотрены теоретические и экспериментальные методы определения показателей кинематической точности и способы достижения их заданных значений при проектировании и изготовлении механизмов.
В развитие механики и методов проектирования механических конструкций и механизмов значительный вклад внесли русские и советские ученые: П. Л. Чебышев, Н. Е. Жуковский, Л. В. Ассур, С. П. Тимошенко, И. И. Артоболевский, Н. И. Колчин, В. А. Гавриленко, В. И. Феодосьев, Г. С. Писаренко, Н. Г. Бруевич, Л. И. Якушев, Б. А. Тайц, Л. Н. Решетов, Ф. В. Дроздов, В. В. Кулагин, С. О. Доброгурский, О. Ф. Тищенко и многие другие. Развитие этих методов продолжается и в настоящее время, в особенности с появлением новых возможностей создания оптимальных конструкций благодаря применению систем автоматизированного проектирования, использующих ЭВМ.
Особенность современного этапа развития механических устройств РЭС - увеличение интенсивности нагрузок вследствие миниатюризации аппаратуры, замена вычислительных механизмов электронными устройствами, использование механизмов с особыми кинематическими характеристиками (периферийное оборудование ЭВМ, лентопротяжные и сканирующие механизмы систем регистрации и воспроизведения информации), широкое применение автоматизированного проектирования.
Вопросы, рассматриваемые в настоящем учебном пособии, подробно изложены в следующей учебной и справочной литературе:
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ Глава 2. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 2.1. Основные понятия и определения.Механизм, или передаточный механизм - это устройство для передачи механической энергии движения с преобразованием ее параметров от источника (двигателя, датчика, человека-оператора) к потребителю - устройству, для функционирования которого необходима энергия в виде механического перемещения.
Теория механизмов - наука, изучающая методы анализа и синтеза механизмов. Методам анализа посвящены три раздела:
а) структурный анализ;
б) кинематический анализ;
в) динамический анализ.
Синтез механизма проводится с использованием результатов анализа механизмов известной структуры.
2.2. Структурный анализ механизмов.2.2.1. Задачи структурного анализа:
а) определение структуры - состава механизма;
б) классификация подвижных соединений звеньев - кинематических пар;
в) определение степени подвижности механизма.
Причины, вызывающие движение звеньев, не рассматриваются.
2.2.2. Структура механизма (М). М состоит из отдельных частейзвеньев, соединенных друг с другом подвижно с помощью кинематических пар. Все неподвижные детали М считают одним звеном - стойкой. Среди подвижных звеньев различают ведущие - положения или перемещения их в каждый момент времени задают с помощью обобщенных координат, ведомые, положения и перемещения которых однозначно зависят от положений или перемещений ведуших.
Кинематическая пара (КП) - соединение двух звеньев, обеспечивающее их определенное относительное перемещение. Звенья, объединенные КП в связанную систему, образуют кинематическую цепь.
Механизм - это замкнутая кинематическая цепь, обладающая определенностью перемещений звеньев, т.е. при задании перемещения ведущего звена (или звеньев) все остальные - ведомые - получают вполне определенные перемещения.
2.2.3. Кинематическая классификация КП. По характеру относительных перемещений звеньев все пары делят на 5 классов; класс пары определяется числом условий связи, наложенных на относительное перемещение звеньев: s = 6 - w, где 6 - число независимых перемещений свободного звена, w - число относительных независимых перемещений звеньев в паре. Примеры КП различных классов показаны на рис. 2.1, а их условные изображения на схемах - на рис. 2.2. Высшие КП (с точечным или линейным контактом звеньев) изображены на рис. 2.3. В винтовой паре 5-го класса линейное перемещение вдоль оси винта и вращательное вокруг нее связаны и образуют одно перемещение по винтовой линии.
2.2.4. Определение степени подвижности М по структурным формулам. Степень подвижености М - число независимых перемещений, которые нужно сообщить его ведущим звеньям, чтобы перемещения ведомых были однозначно определены.
Структурная формула М - уравнение, отражающее структуру и позволяющее определить степень подвижности:
w = 6k - sum[i* (p)i]1, 5 + qs, (2.1)
где 6k - сумма подвижностей k свободных звеньев, обьединяемых в M; sum[i* (p)i]1, 5 - сумма связей, образующихся в i парах класса (p)i (от 1 до 5 класса);
qs - дополнительные подвижности в M, обусловленные спецификой его структуры.
Подвижности qs появляются в M в том случае, когда перемещения части звеньев совершаются по одним и тем же поверхностям; но эти общие ограничения не мешают звеньям перемещаться относительно друг друга, т.е. становятся пассивными. Это равносильно появлению в M дополнительных подвижностей. В M на рис. 2.4 ограничения в КП A, В и С 5-го класса и в КП D 4-го класса - невозможность линейных перемещений вдоль оси Y и вращательных вокруг оси Z - обеспечивают qs =2.
2.2.5. Степень подвижности многоконтурного M . Сложные M часто содержат несколько связанных замкнутых кинематических цепей - контуров, в каждом из которых может быть различное число ограничений. Для таких M степень подвижности определяется по формуле
w = (6 - qs/c) *k - sum (i- qs/c) * (p)i, (2.2)где c - число контуров в M .
Это уравнение получается из (2.1) и условия k = sum[ (p)i] - c, справедливого для любого M . Например, для двухконтурного M на рис. 2.5 а, в контуре 1 q1 = 0, в контуре 2 q2 = 2 и qs = 2, следовательно,w = (6 - qs/c) *k - sum (i- qs/c) * (p)i = 5*7 - 4*7 - 3*1 - 2*1 = 2.
В M на рис. 2.5 б, который подобен рассмотренному, но имеет q1 = 2, q2 = 3, qs = 5 :
w = (6 - qs/c) *k - sum (i- qs/c) * (p)i == (6 - 5/2) *7 - (5 - 5/2) *9 = 2.
Степень подвижности этих M w = 2, т.е. у них должно быть два ведущих звена в каждом (например, звенья 1 и 7) .
2.3. Пассивные звенья в механизмахТакие звенья в M дублируют друг друга и вводятся для повышения жесткости конструкции. Пример показан на рис. 2.6, где одно из звеньев 2 или 4 - пассивное и на перемещения остальных звеньев влияния не оказывает. При определениии степени подвижности такие звенья и соответствующие им КП не рассматривают.
2.4. Рациональная структура механизмаМ рациональной структуры - это М, не имеющий внутренних пассивных ограничений. Эти ограничения приводят к появлению в М внутренних усилий, которые дополнительно нагружают звенья, КП и вызывают деформацию звеньев и усиленный износ КП, приводят к бесполезным потерям энергии.Пассивные ограничения в М можно найти, использовав уравнение
(2.1) в виде
q = w - 6k + sum[i* (p)i] . (2.3)
Однако в ряде случаев, особенно для многоконтурных М, выражение (2.3) не дает верного результата, так как в нем не учитываются связи между отдельными контурами.
Точно определить пассивные ограничения в М, их характер можно с помощью метода анализа местных подвижностей в КП. Рассматривают все возможные относительные перемещения звеньев в каждой КП, которые должны обеспечить требуемую подвижность звеньев в каждом контуре.Для замыкания любого контура без внутренних усилий необходимы три линейные подвижности вдоль трех произвольно ориентированных непараллельных осей и три угловые вокруг этих осей. Недостающую линейную подвижность по какой-либо оси можно скомпенсировать угловой - поворотом звена вокруг этой оси. Избыток подвижностей в контуре обеспечивает его подвижность, недостаток - пассивные ограничения. Избыточная подвижность в одном контуре может использоваться для компенсации пассивных ограничений в другом, если эта подвижность имеется у звена, входящего в оба контура.
Для М строят таблицу - матрицу подвижностей, где линейные и угловые подвижности обозначают литерами соответствующих КП (рис. 2.7) .
Левая часть матрицы соответствует линейным подвижностям (прямая стрелка), правая - угловым (дугообразная) . В рассматриваемом М линейных подвижностей нет (нули в левой части матрицы), угловых - 6 (обозначены литерами КП в правой части) . Избыток угловых подвижностей вокруг оси Y позволяет компенсировать недостаток линейных вдоль осей X и Z, что изображено зигзагообразными стрелками с обозначением звеньев CD и BC, поворот которых обеспечивает линейные подвижности; первой указывают литеру КП, угловая подвижность в которой использована для компенсации.
Степень подвижности рассматриваемого М w = 1, число пассивных ограничений q = 1 (невозможны перемещения по оси Y). Рациональной структуру этого М можно сделать, заменив любую из его КП такой, которая обеспечивает линейную подвижность вдоль оси Y, или дополнительную угловую вокруг осей X или Z .
Глава 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 3.1. Основные понятия и определения. Задачи кинематического анализа.3.1.1. Кинематические параметры - положение звена относительно системы координат, его скорость и ускорение. Кинематические характеристики - функции, связывающие в М параметры движения ведущего звена с параметрами движения ведомого.
3.1.2. Кинематический анализ - раздел теории М, в котором изучают движение звеньев в М, однако причины, вызывающие движение, не рассматриваются.
Задачи кинематического анализа:
а) определение кинематических параметров звеньев М и их характер ных точек;
б) определение кинематических характеристик М.
3.2. Основные виды движения звеньев3.2.1. Основные виды движения:
а) поступательное;
б) вращательное;
в) сложное.
Последний - общий случай движения, которое может быть представлено суммой поступательного и вращательного или как последовательность мгновенных вращательных движений.
3.2.2. Поступательное движение. Твердое тело или звено перемещается так, что любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению (рис. 3.1) . Перемещения, скорости и ускорения всех точек звена соответственно одинаковы. Если положения любых двух точек (например, A и В) определить векторами (r) a и (r) b, то при движении вектор (r) ab = AB не меняется, т.е. скорости (v) a и (v) b равны; также равны и ускорения (w) a и (w) b .
3.2.3. Вращательное движение. Все точки звена движутся по круговым траекториям в параллельных плоскостях, а центры этих окружностей находятся на общей оси вращения (рис. 3.2) .
Вращение характеризуется угловой скоростью omega = dfi/dr и угловым ускорением eps = domega/dtau. Линейная скорость точки при вращательном движении v = (dfi/dtau) x r = omega x r . Линейное ускорение:
w = dv/dtau = (domega/dtau) x r + omega x (dr/dtau) = eps x r + omega x omega x r = (w) t + (w) n . (3.1)
Вектор тангенциального ускорения (w) t направлен по касательной к траектории движения, нормального w (n) - к центру вращения.
Модуль вектора полного ускорения
w = [ (eps*ro) **2 + ( (omega**2) *ro) **2]**0.5 = ro*[eps**2 + omega**4]**0.5, (3.2)
где ro - радиус вращения.
3.2.4. Сложное движение звена. Его обычно представляют суммой двух более простых движений: относительного в подвижной системе координат K' и переносного вместе с этой системой относительно системы координат K, которая обычно неподвижна (рис. 3.3) .
3.2.5. Скорости и ускорения при сложном движении. При сложном (абсолютном) движении приращение вектора скорости (v) a:
d (v)a = d (v)o + dfi x r' + (v) r*dtau,
следовательно, абсолютная скорость (v) a есть сумма переносной (v) e и относительной (v) r скоростей:
(v)a = (v) o + omega x r' + (v) r = (v) e + (v) r . (3.3)
Приращение вектора ускорения при сложном движении:
d (w)a = d (w)o + d (omega x r') + dfi x (v) r + (w) r*dtau ;
d (omega x r') = eps x r' + omega x omega x r' + omega x (v) r ;
dfi x (v) r = omega x (v) r.
Таким образом, ускорение при сложном движении
(w)a = (w) o + eps x r' + omega x omega x r' + 2*omega x (v) r + (w) r. (3.4)
Составляющие абсолютного ускорения:
(w)e = (w) o + eps x r' + omega x omega x r' - переносное ускорение;
(w)k = 2*omega x (v) r - ускорение Кориолиса;
(w)r - относительное ускорение.
3.3. Аксоидные поверхности.3.3.1. Мгновенные оси и аксоидные поверхности. Сложное движение звена можно представить последовательностью мгновенных поворотов вокруг мгновенных осей, меняющих свое положение в пространстве (рис.3.4) . Последовательные положения мгновенных осей в системах координат K (неподвижной) и K' (подвижной) образуют две аксоидные поверхности - неподвижную и подвижную, в каждый момент времени контактирующие друг с другом по прямой линии - мгновенной оси. В общем случае аксоиды катятся друг по другу со скольжением. Формы аксоидных поверхностей определяются видами переносного и относительного движений.
3.3.2. Гиперболоидные аксоиды. Переносное движение совершается вокруг оси omega1, относительное - вокруг оси omega2, оси скрещиваются под углом Sigma (рис. 3.5 и 3.6) . Мгновенная ось - Omega, вдоль нее
аксоиды проскальзывают со скоростью v . Расстояние O1O2 = a, углы delta1
и delta2 определяют по формулам:
a = (v/Omega) [ (1+ 2i*cos (Sigma) + i**2) / (i*sin (Sigma) )], (3.5)
где Omega = omega1 + omega2 ; i = omega1/omega2 ;
O1P/O2P = 1/ (i*cos (Sigma) = (omega2/omega1) /cos (Sigma) ; (3.6)
delta1 = arc tg [sin (Sigma) / (i*cos (Sigma) ] ;
delta2 = Sigma - delta1 . (3.7)
3.3.3. Конические аксоиды. Оси вращательных движений пересекаются, аксоиды перекатываются друг по другу без скольжения (рис. 3.7) .
Углы при вершинах конусов delta1 и delta2 определяют по формулам (3.7) .
3.3.4. Цилиндрические аксоиды. Оси вращательных движений параллельны (рис. 3.8, а - при одинаковых знаках omega1 и omega2, б - при разных) . Цилиндры катятся друг по другу без скольжения; положение мгновенной оси определяют по формуле (3.6) при Sigma = 0:
O1P/O2P = omega2/omega1 . (3.8)
3.3.5. Сложение поступательных движений (рис.3.9) . Поверхность неподвижного аксоида вырождается в траекторию перемещения центра подвижной системы координат K', в которой звено движется поступательно.
3.4. Мгновенные центры скоростей и ускорений.3.4.1. Мгновенный центр скоростей в плоском движении звена точка, линейная скорость которой в данный момент равна нулю. Для плоского движения - это проекция мгновенной оси на плоскость движения (рис.
3.10) .
Для точек звена выполняется условие
(v)a/AP = (v) b/BP = ... = omega, (3.9)
где omega - угловaя скорость звена; P - мгновенный центр.
При плоском движении аксоиды проецируются на плоскость в виде
центроид - геометрических мест мгновенных центров скоростей.
3.4.2. Мгновенный центр ускорений в плоском движении - точка, линейное ускорение которой в данный момент равно нулю.
Из (3.2) для любой точки звена (рис. 3.11) следует:
(w)a/AQ = (w) b/BQ = ... = [eps**2 + omega**4]**0.5,
где eps - угловое ускорение звена; Q - мгновенный центр.
Направление на мгновенный центр ускорений определяется углом между векторами нормального (w) n и полного w ускорений.
Глава 4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЗМОВ 4.1. Кинематические характеристики механизмов.4.1.1. Кинематические характеристики - зависимости, связывающие в М положения, скорости и ускорения ведущего звена с соответствующими параметрами ведомого. Эти функции полностью определяются структурой и геометрическими параметрами М.
4.1.2. Функция положения М - зависимость положения ведомого звена от положения ведущего. В общем виде для М (рис. 4.1) :
fin = П (fi1) . (4.1)
4.1.3. Функция скорости М - связь скоростей ведомого звена omegan и ведущего omega1 - производная функции положения:
dfin/dtau = d[П (fi1) ]/dtau = {d[П (fi1) ]/dfi1}* (dfi1/dtau),
d[П (fi1) ]/dfi1= П' (fi1) = omegan/omega1 . (4.2)
Передаточное отношение - величина, обратная функции скорости:
(i)1n = omega1/omegan = 1/П' (fi1) . (4.3)
4.1.4. Функция ускорения М - связь ускорений ведомого звена epsn и ведущего eps1 - вторая производная функции положения:
d2fin/dtau2 = d|{d[П (fi1) ]/dtau}* (dfi1/dtau) |/dtau =
= П'' (fi1) * (dfi1/dtau) **2 + П' (fi1) * (d2fi1/dtau2) =
= П'' (fi1) **omega1**2 + П' (fi1) *eps1 ;
Если принять eps1 = 0, то
П'' (fi1) = d2[П (fi1) ]/dfi12 = epsn/omega1**2 . (4.4)
Следовательно, функция ускорения определяет ускорение ведомого звена М при постоянной скорости ведущего.
4.2. Методы определения кинематических характеристик.4.2.1. Метод векторного замкнутого контура. Сущность этого аналитического метода: звенья М представляют векторами, которые должны образовать замкнутый контур, т.е. сумма проекций звеньев- векторов на оси произвольно выбранной системы координат должна быть равна нулю.
Уравнение проекций позволяет найти функцию положения, а дифференцирование ее даст функции скорости и ускорения. Для М на рис. 4.2 уравнения проекций на оси X и Z :
r*cos (fi1) + l*cos (fi2) - s = 0;
h + r*sin (fi1) - l*sin (fi2) = 0.
Функция положения
dzet = s/r = cos (fi1) +
+ [ (l/r) **2 - (h/r + sin (fi1) )**2]**0.5 (4.5)
Функции скорости и ускорения:
П' (fi1) = ddzet/dfi1 = v3/ (r*omega1) ;
П'' (fi1) = d2dzet/dfi12 = w3/ (r*omega1**2) .
4.2.2. Графоаналитический метод планов. Сущность его состоит в построении векторных диаграмм, изображающих скорости и ускорения М для одного его положения, т.е. получают мгновенные значения кинематических характеристик М. Исходным является план положений М - изображение М в масштабе при некотором положении ведущего звена (рис. 4.3 а) .
План скоростей - графическое решение векторных уравнений, связывающих скорости абсолютного, переносного и относительного движений точек звеньев (рис. 4.3 б) . Аналогично строится план ускорений (рис. 4.3 в) .
4.3. Соотношение скоростей в высших кинематических парах.4.3.1. Эти соотношения необходимо определять при анализе и синтезе сложных М с высшими парами. В таких парах звенья в общем случае катятся друг по другу со скольжением. Относительное движение звеньев можно представить, введя в рассмотрение подвижные аксоиды, жестко связанные со звеньями пары.
4.3.2. Кинематическая пара с вращательным движением звеньев.
Звенья вращаются вокруг осей O1 и O2, контактируя в точке K (рис. 4.4) .
Чтобы определить положение мгновенной оси, условно останавливают одно из звеньев, например звено 1, придавая ему и всем остальным скорость - (omega1) . Скорость звена 2 Omega = omega2 - omega1 определит относительное движение, а скорость вращения линии O1O2 (т.е. стойки) - (omega1) - переносное. В соответствии с (3.8) мгновенная ось находится в точке Р, для которой O1P/O2P = omega2/omega1 . Профили звеньев проскальзывают со скоростью vs, которая должна определяться расстоянием до мгновенной оси:vs = Omega*KP = (omega2 - omega1) *KP. Поэтому полюс Р должен находиться на нормали, проведенной к контактирующим профилям звеньев в точке контакта К (рис. 4.4) .
4.3.3. Кинематическая пара с вращательным движением одного звена и поступательным второго. Положение мгновенной оси может быть получено так же, как и в предыдущем случае: из точки контакта К проводят нормаль до пересечения с прямой, исходящей из центра O1 перпендикулярно к направлению линейной скорости v2 звена 2 (рис. 4.5) .
Линейное движение можно считать вращательным вокруг бесконечно удаленного центра, поэтому O2P бесконечно велико, и omega2 = 0. Так как omega2*O2P = v2, следовательно:
O1P*omega1 = v2 . (4.6)
4.3.4. Поступательное движение обоих звеньев. Касательная (рис. 4.6) к профилям звеньев определяет углы alf1 и alf2 между скоростью скольжения vs и скоростями v1 и v2 :
v1/v2 = sin (alf2) /sin (alf1) . (4.7)
4.4. Кинематические характеристики многозвенных механизмов.4.4.1. Структура многозвенных М. Такие М состоят из соединенных друг с другом структурно-элементарных М с характерными кинематическими признаками основных кинематических пар. Схемы структурно-элементарных М с высшими парами изображены на рис. 4.7 и 4.8.
4.4.2. Передаточные отношения цилиндрических, конических и гиперболоидных пар с круговой формой звеньев (рис. 4.7) определяют в соответствии с (3.8) отношением диаметров аксоидов:
i12 = omega1/omega2 = d2/d1 . (4.8)
4.4.3. Передаточное отношение многоступенчатого М с последовательным соединением цилиндрических колес (рис. 4.9) :
i12 = omega1/omega2 = dn/d1* (-1) **k, (4.9)
где k - число внешних зацеплений (здесь знак учитывает направлениевращения выходного звена по отношению к входному) .
Для последовательно- параллельного соединения колес (рис. 4.10) :
i12 = omega1/omega2 = [ (d2/d1) * (d4/d3) ...
... (dn/dn-1) ]* (-1) **k . (4.10)
Если в М имеются конические и гиперболоидные пары, знак не определяют.
4.4.4. Передаточные отношения аксоидных М с переменными радиусами звеньев (рис. 4.11) определяют по формуле, аналогичной (4.8) :
i12 = omega1/omega2 = ro2/ro1, (4.11)
где ro1 и ro2 - текущие значения радиусов аксоидных поверхностей, при чем ro1 + ro2 = a.
4.4.5. Передаточное отношение М с гибким звеном (рис. 4.12) определяют из условия равенства линейных скоростей в точках касания этого звена с основными жесткими:
i12 = omega1/omega2 = AK2/AK1 . (4.12)
Глава 5. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 5.1. Задачи анализа; основные понятия и определения.Задачи динамического анализа:
а) определение усилий, действующих на звенья М при его работе, или силовой анализ;
б) определение законов движения М под действием приложенных усилий, или динамика механизма.
Сила - количественная мера механического взаимодействия тел.
Система сил - совокупность сил, действующих на звено. Система может быть уравновешенной, если под действием ее тело находится в равновесии. Равнодействующая - сила, заменяющая действие системы сил. Момент силы - векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на саму силу (рис. 5.1) : T = (r) a x F ; плечо силы, создающей момент (расстояние до линии действия силы) : h = (r) a*sin (alfa) .
5.2. Условия равновесия звеньев под действием системы сил.Звено находится в равновесии, если равнодействующая сила R0 и ее момент T0 равны нулю:
R0 = (Rx**2 + Ry**2 + Rz**2) **0.5 = 0;
T0 = (Tx**2 + Ty**2 + Tz**2) **0.5 = 0. (5.1)
Следовательно, сумма проекций всех сил, действующих на звено, а также сумма проекций моментов этих сил на каждую из координатных осей в отдельности должны равняться нулю:
sum (Fix) = sum (Fiy) = sum (Fiz) = 0;
sum (Tix) = sum (Tiy) = sum (Tiz) = 0. (5.2)
Разновидности уравнений равновесия для плоской системы:
sum (Fix) = 0; sum (Fiy) = 0; sum (Tiz) = 0;
sum (Fix) = 0; sum (Tiy) = 0; sum (Tiz) = 0; (5.3)
sum (Tix) = 0; sum (Tiy) = 0; sum (Tiz) = 0;
5.3. Характеристика усилий, действующих на звенья механизма.5.3.1. Классификация усилий. Силы и моменты, действующие на звенья М, делят на три группы:
а) внешние силовые воздействия;
б) усилия, возникающие в звеньях вследствие действия ускорений;
в) внутренние усилия в кинематических парах - реакции.
5.3.2. Внешние усилия: движущие и сопротивления. Работа движущих усилий dA = F*ds положительна, сопротивлений - отрицательна (рис.
5.2) . Усилия полезного сопротивления приложены к выходному звену М, движущие - к входному, ведущему.
5.3.3. Силы веса. Возникают в поле тяготения, пропорциональны массе звена m и ускорению тяжести g : G = m*g . Условно приложены в центре масс - точке, в которой может сосредоточена вся масса звена, причем состояние его под действием сил не изменяется. Координаты центра масс для тела с обьемом V (рис. 5.3) :
(x)c = (1/V) *int (x*dv) V; (y) c = (1/V) *int (y*dv) V;
(z)c = (1/V) *int (z*dv) V . (5.4)
Для плоского сечения площадью S координаты центра масс:
(x)c = (1/S) *int (x*ds) S; (y) c = (1/S) *int (y*ds) S . (5.5)
5.3.4. Инерционные параметры звеньев: масса при поступательном движении и моменты инерции при вращательном - меры инерционности звеньев. Моменты инерции определяют относительно соответствующей координатной оси: Jx, Jy, Jz, или относительно какой-либо точки - Ja ; в последнем случае Ja = Jxa + Jya + Jza . Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, называют главным моментом инерции.
Для тела обьемом V с равномерно распределенной массой момент инерции
J = int (ro**2*dm) V, (5.6)
где ro - радиус вращения элементарной массы dm.
Моменты инерции некоторых тел относительно осей, проходящих через центры масс:
- шара массой m и радиусом R:
Jc = 0.4*m*R**2 ;
- цилиндра массой m и радиусом R, относительно оси, прохо дящей через центр масс и параллельной образующей:
Jc = 0.5*m*R**2 ;
- тонкого стержня длиной L и массой m, относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной продольной оси стержня:
Jc = (m*L**2) /12 .
Момент инерции относительно оси, удаленной от центра масс на расстояние a (рис. 5.4) :
Ja = Jc + ma**2 .
5.3.5. Инерционные усилия. Возникают при действии ускорений, пропорциональны этим ускорениям и массе звена или моменту инерции.
Сила инерции: Fи = -m* (w)c, условно приложена в центре масс и пропорциональна его ускорению (w) c.
Момент инерционной силы: Tи = -Jc* (eps) c, где (eps) c - угловое ускорение, Jc - момент инерции относительно центра масс.
В сложном движении, представляющем сумму поступательного и вращательного, на тело действует инерционная сила Fи и момент инерционной силы Ти (рис. 5.5) .
5.3.6. Реакции в кинематических парах. Взаимно уравновешенные усилия взаимодействия звеньев в подвижных соединениях. Реакцию можно представить как сумму нормальной (R) n и касательной (R) t (рис. 5.6) .
Касательная - сила трения, сопротивление тангенциальному смещению поверхностей - функция нормальной силы.
5.4. Краткая характеристика сил трения.5.4.1. Трение имеет двойственную молекулярно - механическую природу, зависит как от взаимодействия молекулярных структур поверхностных слоев, так и от их механического сцепления. Силы трения зависят от четырех групп факторов:
а) вида трения - скольжения или качения;
б) свойств поверхностных слоев контактирующих деталей;
в) режима трения;
г) формы поверхностей кинематической пары.
5.4.2. Виды трения. Трение скольжения-процесс, при котором одни и те же зоны первой контактирующей поверхности приходят в соприкосновение с новыми зонами другой (рис. 5.7) .
Углы при трении: gamma - угол давления; fit - угол трения. Коэффициент трения f = tg (fit) .
Fт = (R) t = (R) n*tg (fit) = f* (R)n . (5.7)
В трущейся паре может возникнуть самоторможение, когда движение под действием внешней силы P невозможно, как бы велика она ни была, т.к. при этом P < Fт ; условие самоторможения можно записать в виде: gamma < < fit .
Трение качения - процесс, при котором все новые зоны обеих контактирующих поверхностей вступают в контакт, а мгновенная ось вращения проходит через зону контакта (рис. 5.8, а) . При качении нормальная составляющая реакции сдвинута относительно нормали, проходящей через середину зоны контакта на расстояние k, которое называют коэффициентом трения качения (рис. 5.8, б) .
5.4.3. Вторая группа факторов, определяющая физико-механическое и микрогеометрическое состояние контактирующих поверхностей: молекулярное строение, структура поверхностного слоя, внутренние напряжения в нем, твердость, упругость и другие механические свойства; микрорельеф, присущий каждой технической поверхности, и другие. В частности, микрорельеф, согласно ГОСТ 2789-73, описывается десятью параметрами, среди которых, кроме параметров, характеризующих высоту и шаг микронеровностей, должны быть их форма и направление "в плане".
5.4.4. Третья группа факторов - режим трения: удельное давление, относительные скорости, температура в контактных зонах, наличие или отсутствие на поверхностях трения оксидов или смазочных материалов, свойства этих третьих веществ.
Коэффициенты трения скольжения и качения, учитывающие влияние первых трех групп факторов, исследованы экспериментально и приведены в справочниках, для плоских поверхностей при скольжении и для плоской и цилиндрической - при качении.
5.4.4. Влияние формы контактирующих поверхностей. Учитывается введением приведенных коэффициентов трения: отношения внешних сил движущей P и сжимающей контактирующие поверхности N: f' = P/N. При наличии трения силу P находят через f' :
P = Fт = f'*N, (5.8)
где Fт - приведенная сила трения в кинематической паре.
При качении
P = k*N/r = f'*N,
где f' = k/r - приведенный коэффициент трения качения.
Глава 6. Методы определения реакций в кинематических парах и динамика механизма.. 6.1. Методы определения реакций в кинематических парах.6.1.1. Сущность метода определения реакций. Для большинства методов она сводится к составлению и решению уравнений равновесия для каждого звена, в которые реакции входят как неизвестные. Внешние силы, скорость и ускорение для всех звеньев М должны быть известны; определяют реакции и движущие усилия на ведущем звене М. Инерционные силы учитываются на основе принципа д'Аламбера: в каждое мгновение движения любое тело можно рассматривать находящимся в равновесии под действием системы сил, в которую входят и силы инерции.
6.1.2. Аналитический метод определения реакций. Механизм условно расчленяют на звенья, нагружая каждое внешними усилиями, а в кинематических парах - неизвестными составляющими реакций (рис. 6.1.) . Систему уравнений равновесия для одного звена решить нельзя, так как число неизвестных больше числа уравнений, поэтому звенья обьединяют в статически определимые группы, для которых выполняется условие sum[i*p (i)] -qs =6k.
Пример расчленения M на группы показан на рис. 6.2, а схема определения реакций в группе - на рис.6.3.
Уравнения равновесия для обоих звеньев группы:
sum (Fix) = Rb''*cos (fi2) - Rb'*sin (fi2) - F2*cos (alf2) - F3*cos (alf3) - Rd*sin (fit) = 0;
sum (Fiy) = Rb''*sin (fi2) - Rb'*cos (fi2) - F2*sin (alf2) - F3*sin (alf3) - Rd*cos (fit) = 0;
sum (T2c) = Rb'*l2 - F2*l2s*cos (pi/2 - alf2 + fi2) - T2 = 0;
sum (T3c) = F3*l3'*cos (pi/2 - alf3 + fi3) - T3 - Rd*sin (fit) *h3y +
+ Rd*cos (fit) *h3x = 0.
Решение системы позволяет найти реакции Rb, Rc и Rd и их составляющие.
6.1.3. Графоаналитический метод планов сил. Уравнения статики решают графическим построением плана сил - векторной диаграммы, на которой силы представлены векторами. План сил для группы звеньев показан на рис. 6.3, в. Составляющую реакции Rb' и плечо h3x для реакции Rd находят так же, как и при аналитическом решении.
6.2. Расчет сил и моментов трения.6.2.1. Силы трения - касательные составляющие реакций - находят по приведенным коэффициентам трения f' = tg (fit), если известны полные реакции в кинематических парах или их нормальные составляющие.
Последовательность определения приведенных коэффициентов трения:
а) из условия равновесия находят нормальные составляющие реакций наконтактных поверхностях;
б) по известным коэффициентам трения на плоских поверхностях рассчи тывают силы трения на реальных поверхностях;
в) из условий равновесия определяют силы движущие;
г) находят приведенный коэффициент трения как отношение движущего уси лия к усилию, сжимающему поверхности звеньев в паре.
6.2.2. Приведенные коэффициенты трения для кинематических пар с трением скольжения:
а) клиновидная направляющая прямолинейного движения (рис. 6.4) :
f' = f*[cos (alf1) + cos (alf2) ]/[sin (alf1 + alf2) ], (6.1)
частный случай: alf1 = alf2 = alfa, f' = f/sin (alfa) ;
б) цилиндрическая направляющая для прямолинейного или вращательногодвижения (рис.6.5) - для произвольного распределения давления по цилиндрической поверхности q = q (fi) :
f' = f{int[q (fi) *dfi]0, alfa}/{int[q (fi) *cos (fi) *dfi]0, alfa}, (6.2)
при q (fi) = q0*cos (fi) и alfa = Pi/2 f' = 4f/Pi ;
в) трение на торцовой поверхности цилиндра (рис. 6.6) :
f' = 1.333*f* (R**2 + R*r + r**2) / (R+ r) **2 ; (6.3)
г) трение в винтовой паре (рис. 6.7):
для прямоугольной резьбы:
T = 0.5*Q*d*f' ; f' = tg (gamma + fit) ; (6.4)
для трапецевидной и треугольной резьб:
f' = tg[gamma + arc tg (f/sin (alfa) )] ; (6.5)
самоторможение в винтовой паре наступает при gamma < fit; в этом случае сила Q не сможет заставить винт вращаться.
6.2.3. Приведенные коэффициенты трения для кинематических пар с трением качения:
а) платформа на катках (рис. 6.8) :
f' = (k1 + k2 )/d ; (6.6)
б) подшипник качения (рис. 6.9) :
T = 0.5*Q*fs*d1; f' = beta*k* (1+ d1/d3) /d1 ; (6.7)
для реальных конструкций подшипников beta = 1.4 - 1.6.
6.3. Коэффициенты полезного действия механизмов.6.3.1. Коэффициент полезного действия - отношение полезной мощности на выходе Nn к мощности движущего усилия на входе Nд : eta = Nn/Nд . Характеризует совершенство M и потери в нем, которые происходят за счет сил трения Nт = Nд - Nn :
eta = 1 - Nт/Nд . (6.8)
Мощности потерь в кинематических парах: поступательной Nт = Fт*vs, вращательной Nт = Tт*omegas ; vs и omegas - относительные скорости звеньев.
Сложный M можно представить как соединение более простых и КПД определять по КПД простых M, входящих в сложный.
6.3.2. КПД при последовательном соединении простых M (рис. 6.10, а) :
eta1m = Nnm/Nд = eta1*eta2...etam . (6.9)
В такой цепи общий КПД меньше минимального частного КПД.
6.3.3. КПД при параллельном соединении простых M (рис.6.10, б) :
eta1m = Nnsum/Nд = k1*eta1 + k2*eta2 + ... + km*etam, (6.10)
где k1, k2, ... km -коэффициенты, показывающие, какая часть общей мощности подведена к каждому простому M ; k1 + k2 + ... + km = 1.
В такой цепи общий КПД определяется в основном частным КПД M, через который проходит наибольшая мощность.
6.3.4. КПД при параллельно-последовательном соединении M (рис. 6.10, в) :
eta = k1*eta1m*eta2m...+ k2*eta1n*eta2n...etann +...
...+ kp*eta1p*eta2p...etapp, (6.11)
где коэффициенты ki учитывают распределение мощности по цепям;
etaij - частные КПД простых M .
6.4. Определение закона движения механизма.6.4.1. Динамика - раздел динамического анализа, посвященный определению законов движения звеньев M. Закон движения - зависимость кинематических параметров от времени:
s = s (tau) ; v = v (tau) ; w = w (tau) ;
fi = fi (tau) ; omega = omega (tau) ; eps=eps (tau) ; (6.12)
где s, v, w - линейные, fi, omega, eps - угловые параметры движения.
Сущность метода определение законов движения звеньев и всего M сводится к интегрированию дифференциальных уравнений
F = m* (d2s/dtau2) или T = J* (d2fi/dtau2), являющихся выражением второго закона механики (закона Ньютона) .
Особенность определения законов движения звеньев:
а) многочисленность звеньев в сложных M, поэтому для каждого звена могут быть свои законы движения;
б/ связанность звеньев и следовательно, их движений.
6.4.2. Определение закона движения звена приведения. Чтобы оперировать минимальным числом параметров, в механизме выделяют звено приведения - какое-либо из звеньев, характер движения которого простейший: движение это прямолинейное или вращательное. Влияние массовых характеристик остальных звеньев и действующих на них усилий учитывают с помощью приведенных параметров, значения которых определяют из условий энергетической эквивалентности звена приведения и всего М. Это значит, что энергия и характер ее изменения для звена приведения и для всего M в каждый момент времени одинаковы.
6.4.3. Приведенные массовые характеристики. При поступательном движении звена приведения со скоростью (v) пр приведенную массу (m) пр находят из условия равенства кинематических энергий звена и всего M, в котором массы mi совершают поступательные движения со скоростями vi, а мом