Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра РЭС (РТС)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу «Методы проектирования и оптимизации РЭA»

Вариант №7

Харьков 2003

Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины
(БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание и дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическими значениями.

Решение

Базовой называют случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощи функции rnd(m) пакета MathCad 2000, возвращающей значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0xm.

а) для выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996.
Первый начальный момент (математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки:

МХ = 0.502 ,

(1.1)

второй центральный момент (дисперсия):

D = 0.086 ,
(1.2)

среднеквадратичное отклонение:

? = 0.293 .

(1.3)

Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.

Для выборки объемом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,

МХ = 0.505 ,

(1.4)

D = 0.085 ,
(1.5)

? = 0.292
. (1.6)

Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.

Теоретически значения математического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из определения плотности распределения вероятности:

pравн(x) =
, (1.7)

математическое ожидание:

Mx = 0.5 ,

(1.8)

дисперсия:

Dx =

=0.083 ,

(1.9)

что хорошо совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).

Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограмму распределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределенной случайной величины.

Решение

а) выборка получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1):

Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700

Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков, каждый из которых равен:

?X = .

(2.1)

Количества выборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотности сведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2. Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения (1.7).

Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения
|Номер|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|интер| | | | | | | | | | |
|-вала| | | | | | | | | | |
|Диапа|0-0.1|0.1-0|0.2-0|0.3-0|0.4-0|0.5-0|0.6-0|0.7-0|0.8-0|0.9-1|
|-зон | |.2 |.3 |.4 |.5 |.6 |.7 |.8 |.9 | |
|значе| | | | | | | | | | |
|-ний | | | | | | | | | | |
|Коли-|151 |174 |149 |189 |190 |161 |166 |182 |177 |161 |
|честв| | | | | | | | | | |
|о | | | | | | | | | | |
|попа-| | | | | | | | | | |
|даний| | | | | | | | | | |
|Часто|0.089|0.102|0.088|0.111|0.112|0.095|0.098|0.107|0.104|0.095|
|-та | | | | | | | | | | |
|по-па| | | | | | | | | | |
|да-ни| | | | | | | | | | |
|я Pi | | | | | | | | | | |
|Оцен-|0.888|1.024|0.876|1.112|1.118|0.947|0.976|1.071|1.041|0.947|
|ка | | | | | | | | | | |
|плот-| | | | | | | | | | |
|ности| | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |
|pi | | | | | | | | | | |

Рисунок 2.2 Гистограмма распределений

Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n = 1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученной случайной последовательности
(вычислить 10 значений коэффициента корреляции).

Решение

а) снова получим выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1):

Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700

б) значения математического ожидания и дисперсии:

M = 0.512 ,

(3.1)

D = 0.088 .

(3.2)

в) функция корреляции:

R(j) = ,

(3.3)

значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1 , значение R(0) = 0.088 совпадает с дисперсией.

Таблица 3.1 Значения функции корреляции:
|j |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|R(j) |-9.6·|3.53·|2.7·1|4.24·|-1.73|6.61·|4.11·|6.74·|3.95·|1.12·|
| |10-4 |10-3 |0-4 |10-3 |·10-3|10-4 |10-4 |10-5 |10-4 |10-3 |

Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея. Объем выборки n = 17, ?2 = 27.

Решение

Ддя получения случайной величины с заданным законом распределения из
БСВ применим метод обратной функции:

а) для распределения Релея p(x) =
(4.1)

случайная величина

? = F(x) =

(4.2)

равномерно распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ.
Решив уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную величину, распределенную по закону (4.1):

?i = ,

xi = ,

(4.3)

где ?i – значения выборки БСВ

Результат моделирования случайной величины xi представлен на рис. 4.1:

Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной по закону Релея

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.

2. Тихонов В. И. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М.
– Сов. радио, 1970. – 600 стр.

3. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник.

М. – Радио и связь, 1988. – 304 с.

Вернуться