Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Кафедра Радиоуправления

Пояснительная записка к курсовой работе по курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ на тему

Пропускная способность канала.

Выполнил студент гр.5313

Алмазов А.И.

Руководитель: _____________

Оценка _____________

Комиссия ________ ( _______
)

________ ( _________ )

________ ( _________ )

Казань 2002
Оглавление.

1. Задание…………………………………………………………………..3стр.

2. Введение…………………………………………...……………………4стр.

3. Теоретическая часть…………...……………………………………….5стр.

4. Практическая часть………………………………..…………………..11стр.

5. Заключение………………………………………………..…………...14стр.

6. Литература…………………………………………….……………… 15стр.

Задание.

В канале действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение сигнал/шум (Pc/Pш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; Vк=8*103 сим/с.

Рассчитать:

1) Изменение пропускной способности канала.

2) Изменение избыточности ? двоичного кода, необходимой для сведения ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.

Построить графики зависимостей с=f(Pc/Pш) и ?= f(Pc/Pш).
Введение.

Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум . Можно определить пропускную способность С канала в расчете на один символ

Ссимвол=maxI(A,B),бит/символ

или в расчете на единицу времени (например, на секунду):

С=maxI’(A,B)=( Ссимвол , биит/с.

В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в расчете на единицу времени.

С=Fklog2(1+Pc/Pш),

А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации воспользуемся теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет выполняться, то избыточность ? будет равняться 0, значит информация передаётся без потерь. Если нет, то ? будет больше нуля (?>0). Т.е. чем меньше величина ?, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.
Теоретическая часть.

Пропускная способность канала связи.

В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяется по формуле:

I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А).

(1)

Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рис. 1.

Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами

Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.

Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может характеризовать канал как средство передачи информации.

Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени
( символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации

I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A),

(2)

где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от источника сигнала, так и от канала.

Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от различных источников информации с различными распределениями P(A). Для каждого источника I(A,B) примет свое значение. Максимальное количество информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:

бит/символ, где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей Р(А).

Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу времени:

бит/с, (3) где v - количество символов, переданное в секунду.

В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода
- p.

Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти

Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: Ссим=max(H(B)-
H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу.
Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов - m*(m-1). Отсюда следует, что:

.

Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в ансамбле А, а определяется только переходными вероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.

Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:

. (4)

Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:

. (5)

Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в двоичных единицах в единицу времени

С=([1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)]

(6)

Зависимость С/( от р согласно (6) показана на рис.3

рис.3 Зависимость пропускной способности двоичного симметричного канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.

При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала.

Пропускная способность непрерывного канала связи.

Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала.
Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС канала равна сумме ПС на один такой отсчет:

, (7) где U - переданный сигнал; Z - сигнал на выходе канала с наложенными на него шумами; N - шум; Z=U+N.

Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:

.

Отсюда следует:

.

ПС в расчете на секунду будет равна:

, (8) поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.

Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, что плотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному закону.

Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и отношения мощности сигнала к мощности шума.

Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосы пропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю спектральную мощность N0. Имеем Рш=N0F; поэтому

С=F*log(1+ Pc/N0*F )=F*loge*ln(1+Pc/N0*F)

(9)

При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:

C?=Lim(Pc/N0)*loge

(10)

Результат (10) получается очень просто, если учесть, что при |(|