Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Теория распределения информации

ШИФР:

ГРУППА:

ВЫПОЛНИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Г. АЛМАТЫ, 1999 Г.

ЗАДАНИЕ 1.

1. Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из

V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а при условии, что: а) N >> V; б) N V; в) N, V
2. Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

V= ; целая часть полученного числа, где NN – номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию: а = 0,2+0,01 * NN
Примечания:
. Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

|Р(i) | | | | |
|i | | | | |

. В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих, включая значение вероятности для i = (целая часть А)
. А = а * V

Решение:

Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина – функцией распределения основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Определим исходные данные для расчета:

V= a = 0.2 + 0.01 ( 11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)

А = а ( V = 0,31 ( 11 = 3,41 ( 4 Эрл (нагрузка)

а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии
N >> V (N – число источников нагрузки).
Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение Эрланга имеет вид:

Pi(V) = , , где Pi(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где Pv – вероятность занятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р0 =

Р1 = Р0 ( = 0,072 Р2 = Р1 ( = 0,144

Р3 = Р2 ( = 0,192 Р4 = Р3 ( = 0,192

Р5= Р4 ( = 0,153 Р6 = Р5 ( = 0,102

Р7 = Р6 ( = 0,058 Р8 = Р7 ( = 0,029

Р9 = Р8 ( = 0,012 Р10 = Р9 ( = 4,8 (
10-3

Р11 = Р10( = 1,7 ( 10-3

M( i ) = 4 ( (1 - 1,7 ( 10-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4 ( 1,7 ( 10-3 ( (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:

Таблица 1

| | | | | | | | | | | | | |
|P( i |0,018|0,072|0,144|0,192|0,192|0,153|0,102|0,058|0,029|0,012|0,004|0,001|
|) | | | | | | | | | | |8 |7 |
| | | | | | | | | | | | | |
|i |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |

б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии
N(V. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: Pi(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V;

- число сочетаний из V по i (i = 0, V)

, а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию
V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = V(a; D( i ) = V ( a ( (1-a)

Произведем расчет:

;

Р1 = 16,8(10-3(

Р2 = 16,8(10-3(

Р3 = 16,8(10-3(

Р4 = 16,8(10-3(

Р5 = 16,8(10-3(

Р6 = 16,8(10-3(

Р7 = 16,8(10-3(

Р8 = 16,8(10-3(

Р9 = 16,8(10-3(

Р10 = 16,8(10-3(

Р11 = 16,8(10-3(

M( i ) = 11 ( 0,31 = 3,41; D( i ) = 11 ( 0,31 ( (1 –

0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем в таблицу 2:

Таблица 2

| | | | | | | | | | | | | |
|P(i) |16,8|82,3|37,7|22,6|15 |10 |7,5 |5,3 |3,7 |2,5 |1,5 |0,6 |
|(10-3| | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
|i |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |

в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии
N,V((.

Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:

, , где: ( - параметр потока, выз/час

(t – средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий
(А=(t).

Легко показать, что:

,

Произведем расчет:

Р0 = ( е-4 = 0,018 Р1 = 0,018 ( =
0,036

Р4 = ( 0,018 = 0,192 Р6 = 0,018 ( =
0,102

Р8 = 0,018 ( = 0,029 Р10 = 0,018 ( =
0,0052

Р12 = 0,018 ( = 0,0006

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем в таблицу 3:

Таблица 3

|P( i ) |0.018 |0.036 |0.192 |0.102 |0.029 |0.0052 |0.0006 |
|i |0 |1 |4 |6 |8 |10 |12 |

По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) N(V, в) N, V ( ( ; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

1. Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени ( 0, t*(:

Рк(t*), где t* = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

2. Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

F(t*), t* = 0; 0,1; 0,2; …

3. Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени ( 0, t*(:

Pi(k(t*), где t* = 1
Примечание: 1. Для расчета значений A и V взять из задания 1.
2.Число вызовов к определить из выражения: к = (V/2( - целая часть числа.
3. Для построения графика взять не менее пяти значений F(t*). Результаты привести в виде таблицы:

|F(t*) | | | | |
|t* | | | | |

4. Расчет Pi(k(t*) провести не менее чем для восьми членов суммы.

Решение:

Потоком вызовов называют последовательность однородных событий, поступающих через случайные интервалы времени. Поток вызовов может быть задан тремя эквивалентными способами:

1. Вероятностью поступления к вызовов за интервал времени (0,t(.

2. Функцией распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов.

3. Вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени

(0,t(.

Свойства потоков: станционарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия. Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.

Основными характеристиками потоков вызовов являются: интенсивность ( и параметр (.

Простейшим потоком называется ординарный стационарный поток без последействия.

1. Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени (0,t(.

, где: к = 0, 1, …; t* = t /(t ; где (t – средняя длительность обслуживания вызова.

Определим данные для расчетов:

К = 11/2 = 6; А = 4; V = 11;

Производим расчеты для t* = 0,5 с.

P2(0,5) = 0,13 P3(0,5) = 0,18 P4(0,5) = 0,09

P5(0,5) = 0,03 P6(0,5) = 0,012

Производим расчеты для t* = 1,0 с.

P2(1) = 0,14 P3(1) = 0,19 P4(1) = 0,19

P5(1) = 0,15 P6(1) = 0,1

Производим расчеты для t* = 1,5 с.

P2(1,5) = 0,044 P3(1,5) = 0,089 P4(1,5) = 0,13

P5(1,5) = 0,16 P6(1,5) = 0,16

Производим расчеты для t* = 2 с.

P2(2) = 0,01 P3(2) = 0,028 P4(2) = 0,057

P5(2) = 0,91 P6(2) = 0,122

2. Рассчитаем функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

где Zk – промежуток времени между ( к-1 )-м и к-м вызовами.

F(0) = 1 – e-4(0 = 0 F(0,1) = 1 – e-4(0,1 = 0,32 F(0,2) = 1 – e-4(0,2 = 0,55
F(0,3) = 0,69 F(0,4) = 0,79 F(0,5) = 0,86
F(0,6) = 0,9 F(0,7) = 0,93

Результаты вычислений занесем в таблицу 4:

Таблица 4

|F( t* )|0 |0,32 |0,55 |0,69 |0,79 |0,86 |0,9 |0,93 |
|t* |0 |0,1 |0,2 |0,3 |0,4 |0,5 |0,6 |0,7 |

3. Рассчитаем вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени (0, t*(:

, при t*=1.
P6(6(1) = 1 – 0,84 = 0,16 P10(6(1) = 1 – 0,005 =
0,995

P7(6(1) = 1 – 0,05 = 0,95 P11(6(1) = 1 – 0,001 =

0,999

P8(6(1) = 1 – 0,02 = 0,98 P12(6(1) = 1 – 0,0006 =

0,9994

P9(6(1) = 1 – 0,013 = 0,987 P13(6(1) = 1 – 0,0001 = 0,9999

Интенсивность простейшего потока вызовов ( численно равна параметру (, а при t = (t =1: ( = ( = А = 4.

Задание 3.

1. Рассчитать интенсивность поступающей нагрузки на входы I ГИ для

АТСКУ – А вх. I ГИ.

2. Рассчитать средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских лини народно-хозяйственного и квартирного секторов :

АНХ и АКВ , а так же среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС - АИСХ .

3. Пересчитать интенсивность нагрузки на выход ступени I ГИ.

Исходные данные, таблица 5:

Таблица 5

|Емкость |NНХ |Nкв |СНХ |ТНХ |СКВ |ТКВ |NI ГИ |
|N | | | | | | | |
|9000 |5000 |4000 |3,8 |100 |1,5 |130 |1000 |

Решение:

1. Основными параметрами интенсивности нагрузки являются:

Ni – число источников нагрузки i-й категории.

Ci – среднее число вызовов, поступающих от одного источника i-й категории в ЧНН (час наибольшей нагрузки). ti – средняя длительность одного занятия для вызова от источника i-й категории.

Различают следующие категории источников нагрузки: абонентские линии народнохозяйственного сектора (НХ), абонентские линии квартирного сектора индивидуального пользования (кв.и.), абонентские линии квартирного сектора коллективного сектора (кв.к.), таксофоны (т). Для расчета используем две категории: абонентские линии народнохозяйственного сектора (НХ) и абонентские линии квартирного сектора (кв).

Интенсивность поступающей нагрузки:

,

Средняя длительность одного занятия зависит от типа системы коммутации и определяется выражением:

где: Рр – доля вызовов из общего числа, для которых соединения закончились разговором; Рз – доля вызовов из общего числа, для которых соединения не закончились разговором из-за занятости линии вызываемого абонента; Рно – то же из за неответа вызываемого абонента; Рош – то же из-за ошибок в наборе номера; Ртехн - то же из-за технических неисправностей в узлах коммутации
(при расчетах Ртехн = 0); tрi , tз , tно , tош , tтехн – средние длительности занятий соответствующие этим случаям. Их можно определить из следующих выражений: tPi = ty+ tпв+ Ti+ t0 tз = ty+ tсз+ t0 tно = ty+ tпвн+ t0 tош = 18 с. где: tу – средняя длительность установления соединения; tпв и tпвн средняя длительность слушания сигнала «КПВ» (tпв=7 с. в случае разговора между абонентами; tпвн=30 с. в случае неответа вызываемого абонента);
Ti – продолжительность разговора для вызова i-й категории; tо – продолжительность отбоя; tсз – продолжительность слушания сигнала “Занято” tу = 0,5( tМАВИ + (МРИ + tМРИ + tСО + n ( tН + (IГИ + tМIГИ + (МСD + tМСD где (j – время ожидания обслуживания маркером j-й ступени; (j = 0,1 с. tМАВИ – время установления соединения маркером АВ на ступени АИ при исходящей связи; tМАВИ = 0,3 с. tМРИ - время установления соединения маркером ступени РИ; tМРИ = 0,2 с. tМIГИ - время установления соединения маркером ступени IГИ; tМIГИ = 0,65 с. tМСD - время установления соединения маркером CD; tМСD = 1 С. tСО – средняя длительность слушания сигнала «Ответ станции»; tСО = 3 с. tН – средняя длительность набора одного знака номера; tН = 1,5 с. n – значность номера.

Значения tо и tсз для АТСКУ следующие: tсз = 0,6 с., tо = 0.

РР = 0,6; Рз = 0,2; Рно = 0,15; Рош = 0,05; tу = 0,5 * 0,3 + 0,1 + 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 + 0,1 + 1 = 12,8 с. tрнх = 12.8 + 7 + 100 + 0.6 = 120,4 с. tркв = 12,8 + 7 + 130 + 0,6 = 150,4 с.

РР* tрнх = 0,6 * 120,4 = 72,24

РР* tркв = 0,6 * 150,4 = 90,24 tз = tу+ tсз+ tо = 12,8+0+0,6 = 13,4 с.

Рз* tз = 0,2*13,4 = 2,68 tно = tу+ tпвн+ tо = 12,8+30+0,6 = 43,4 с.

Рно* tно =0,15*43,4 = 6,51

Рош* tош = 0,05*18 = 0,9 tнх = 72,24+2,68+6,51+0,9+0 = 82,33 с. tкв = 90,24+2,68+6,51+0,9+0 = 100,33 с.

АВХIГИНХ = = 434,5 Эрл

АВХIГИКВ = = 167,2 Эрл

АВХIГИ = 434,5 + 167,2 = 601,7 Эрл

2. Рассчитаем средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских линий народнохозяйственного и квартирного секторов:

, Эрл

, Эрл

Средняя удельная интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС:

, Эрл

АНХ = = 0,087 Эрл АКВ = = 0,042 Эрл

АИСХ = = 0,07 Эрл

3. Пересчитаем нагрузку со входа ступени I ГИ на ее выход:

,

где tвхIГИ и tвыхIГИ – соответственно среднее время занятия входа ступени I
ГИ и среднее время занятия выхода ступени I ГИ: tвыхIГИ = tвхIГИ - (t, где (t – разница между временами занятия на входе и выходе ступени I ГИ.
Для АТСКУ:

(t = 0,5( tМАВИ + (МРИ + tМРИ + tСО + n ( tН + (МIГИ + tМIГИ

tВХIГИ = АВХIГИ / Nнх ( Снх + Nкв ( Скв

(t = 0,5 * 0,3 + 0,1 + 0,2 + 3 + 5 * 1,5 + 0,1 + 0,65 = 11,7 с. tВХIГИ = = 86,6 с.

tВЫХIГИ = tВХIГИ - (t = 86,6 – 11,7 = 74,9 с.

АВЫХIГИ = 74,9/86,6 * 601,7 = 520,4 Эрл

Задание 4.

Рассчитать и построить зависимость числа линий V и коэффициента использования ( (пропускная способность) от величины интенсивности нагрузки при величине потерь Р = 0,0NВ, где NВ – номер варианта.

Результаты расчета представить в виде таблицы при Р = const
(постоянная).
|N |А, Эрл |V |Р (табл) |Y |( |
|1 |1 | | | | |
|2 |3 | | | | |
|3 |5 | | | | |
|4 |10 | | | | |
|. |. | | | | |
|. |. | | | | |
|. |. | | | | |
|10 |50 | | | | |

Решение:

Вероятность занятия любых i линий в полнодоступном пучке из V при обслуживании простейшего потока вызовов определяется распределением
Эрланга:

Различают следующие виды потерь: потери от времени Pt , потери по вызовам Pв , потери по нагрузке Pн . Потери по времени Pt - доля времени, в течение которого заняты все V линии пучка. Потери по вызовам определяются отношением числа потерянных вызовов Спот к числу поступивших Спост:

Pв = Спот / Спост

Потери по нагпрузке определяются отношением интенсивности потерянной нагрузки Yпот к интенсивности поступившей А :

Pн = Yпот / А

При обслуживании простейшего потока вызовов перечисленные выше три вида потерь совпадают Pt = Pв = Pн и равны вероятности занятия V линий в пучке:

РV = Pt = Pв = Pн = EV,V(A) =

Обслуженной нагрузкой называют нагрузку на выходе коммутационной схемы, ее интенсивность определяют из выражения:

Y = F - YПОТ = A * (1 - EV(A))

Среднее использование одной линии в пучке равно:

( = Y / V

При Р = 0,011 (11 вариант), по известным А, используя таблицы вероятности потерь определим соответствующие V и рассчитаем для каждого значения А интенсивность Y и среднее использование (.

А = 1, Эрл V1=5 Y1=1(1-0,011) = 0,989 ( = 0,197

А = 3, Эрл V3=8 Y3=3(1-0,011) = 2,96 ( = 0,986

А = 5, Эрл V5=11 Y5=5(1-0,011) = 4,94 ( = 0,449

А = 10, Эрл V10=18 Y10=10(1-0,011) = 9,89 ( =
0,549

А = 15, Эрл V15=24 Y15=15(1-0,011) = 14,83 ( =
0,617

А = 20, Эрл V20=30 Y20=20(1-0,011) = 19,78 ( =
0,659

А = 25, Эрл V25=36 Y25=25(1-0,011) = 24,73 ( =
0,686

А = 30, Эрл V30=42 Y30=30(1-0,011) = 29,67 ( =
0,706

А = 40, Эрл V40=53 Y40=40(1-0,011) = 39,56 ( =
0,746

А = 50, Эрл V50=64 Y50=50(1-0,011) = 49,45 ( =
0,772

Результаты расчетов занесем в таблицу 6:

Таблица 6

|N |А, Эрл |V |Р (табл) |Y |( |
|1 |1 |5 |0,011 |0,989 |0,197 |
|2 |3 |8 |0,011 |2,96 |0,986 |
|3 |5 |11 |0,011 |4,94 |0,449 |
|4 |10 |18 |0,011 |9,89 |0,549 |
|5 |15 |24 |0,011 |14,83 |0,617 |
|6 |20 |30 |0,011 |19,78 |0,659 |
|7 |25 |36 |0,011 |24,73 |0,686 |
|8 |30 |42 |0,011 |29,67 |0,706 |
|9 |40 |53 |0,011 |39,56 |0,746 |
|10 |50 |64 |0,011 |49,45 |0,772 |

Построим график зависимости числа линий V и коэффициента использования
( от величины интенсивности нагрузки Y при величине Р=0,011.

Задание 5.

1. Построить оптимальную равномерную неполнодоступную (НПД) схему, имеющую следующие параметры: V – емкость пучка, g – число нагрузочных групп, d – доступность. Привести матрицу связности.

Исходные данные:

V = 25*Nгр + NВ

D = 10*Nгр где Nгр – номер группы , NВ – номер варианта.

8, если N8=1-10; g = 10, если N8=11-21

12, если N8=21-…

2. Рассчитать и построить зависимость числа линий V от величины потерь
Р неполнодоступного пучка при значении A и D=10 по формуле Эрланга, О
Делла, Пальма-Якобеуса. Результаты привести в виде таблицы и графика:

| |Р | |V | | |
| | |Формула |О Делла |Пальма-Якоб|МПЯ* |
| | |Эрланга | |еуса | |
|1 | | | | | |
|2 | | | | | |
|3 | | | | | |

*- Модифицированная формула Пальма-Якобеуса.

Исходные данные: А – поступающая нагрузка взять в задании 1.

Решение:

Неполнодоступное включение это когда входу доступны не все, а часть выходов (d-определяет количество доступных выходов, d