Тема 1
Введение в аэрогазодинамику
1. Предмет, задачи и методы аэрогидромеханики. Задачи аэрогидродинамического расчёта.
2. Классификация видов и режимов движения жидкости.
3. Сравнение экспериментального, теоретического и вычислительного подходов.
4. Вычислительная аэродинамика и этапы её развития.
1. Предмет, задачи и методы аэрогидромеханики
Одним из основных разделов современной физики является учение об аэрогидромеханике. Аэрогидромеханика имеет дело с жидкими и газообразными средами. Жидкости ещё часто называют капельными или несжимаемыми жидкостями, а вторые - газами или сжимаемыми жидкостями.
Гидроаэромеханика исследует вопросы, связанные с покоем жидкости (гидростатика) и с её движением (гидродинамика).
Главное внимание уделяется решению двух основных связанных между собой задач: определения распределения скоростей и давлений внутри жидкости и определения силового взаимодействия между жидкостью и окружающими её твёрдыми телами.
Теория и эксперимент являются двумя основными подходами к решению задач гидроаэродинамики.
Теоретическая гидроаэродинамика базируется в основном на невязкой (или так называемой идеальной) жидкости, внутри которой отсутствует внутреннее трение.
Экспериментальная гидромеханика поставила своей целью установить закономерности течения вязкой (реальной) жидкости.
Возникновение двух ветвей гидромеханики объяснялось
отсутствием достаточных представлений о механизме течения
жидкости и трудностями решения уравнений движения вязкой
жидкости.
В связи с влиянием... эффектов поток вязкой жидкости делят на две области: пограничный слой, где преобладают силы трения и используются уравнения движения вязкой жидкости, и внешний поток, к которому можно применять закономерности динамики невязкой жидкости.
На основе решения задач гидродинамики удаётся получить теоретические зависимости, раскрывающие закономерности сопротивлений, возникающий при обтекании тел (крыла и фюзеляжа самолёта, лопасти турбины, кораблей различных форм и т.д.) жидкостью.
Задачи аэродинамического расчёта
Процесс проектирования и конструирования ЛА начинается с проведения аэродинамического расчёта, в основу которого положены две взаимозависимые задачи :
1) выбор аэродинамической компоновки ЛА,
2) расчёт аэродинамических характеристик ЛА.
При выборе аэродинамической компоновки ЛА решаются задачи отбора формы, размеров и взаимного расположения элементов ЛА.
В задачу расчёта АДХ ЛА входит:
1) расчёт распределения давления на поверхности ЛА,
2) расчёт составляющих аэродинамических сил и моментов,
3) расчёт аэродинамических характеристик органов управления,
4) расчёт температуры и тепловых потоков на поверхности ЛА. Аэродинамический расчёт обеспечивает исходные данные для
проведения других работ в процессе проектирования ЛА.
1) расчёт тепловых режимов элементов конструкций,
2) расчёт траектории полёта,
3) расчёт динамических нагрузок,
4) расчёт управляемости и устойчивости.
2. Классификация видов движения жидкости
Проведём классификацию видов движения жидкости.
1. Классификация по признаку зависимости движения жидкости от времени.
1.1. Установившееся (стационарное).
1.2. Неустановившееся (стационарное).
2. Классификация по признаку учёта сил трения, вязкости и теплопроводности.
2.1. Идеальная невязкая жидкость.
2.2. Вязкая жидкость.
3. Классификация по виду движения жидкости (поступательное или вращательного движение).
3.1. Безвихревое (потенциальное) (движение, когда вращение отсутствует).
3.2. Вихревое движение.
4. Классификация по характеру изменения плотности в потоке.
4.1. Несжимаемая (жидкость),
4.2. Сжимаемая (газ),
5. Классификация по скорости и её отношению к скорости расширяющихся возмущений (скорости звука).
5.1. Дозвуковое ()
а - скорость звука
5.2. Трансзвуковое ()
5.3. Сверхзвуковое ()
6. Классификация по режиму течения.
6.1. Ламинарный режим, ()
6.2. Турбулентный режим ()
7. Вид течения.
7.1. Свободное.
7.2. Вынужденное.
3. Сравнение экспериментального, теоретического и вычислительного методов
Метод Преимущества Недостатки
Эксперимент 1. Получение наиболее близких к реальным результатов 1. Сложное оборудование2. Проблемы моделирования3. Обработка полученной информации. Кор. измер. значений4. Сложность измерений5. Стоимость
Теоретический 1. Получение информации в виде формул 1. Ограниченность простейшими конфигурациями2. Обычно применим только к линейным задачам
Численный 1. Нет ограничений, связанных с нелинейностью2. Описание сложных физических процессов3. Описание эволюции течения 1. Погрешность округления2. Проблемы задания ГУ3. Стоимость ЭВМ
Основные этапы математичкеского моделирования
Рис.
Структурные элементы математического моделирования вместе со связями показаны на рисунке.
Математическая постановка задачи базируется на физической модели рассматриваемых течений, которая строится на основе имеющихся данных об объекте исследования.
Характеризующие математическую модель исходные уравнения и граничные условия с помощью конечно-разностных методов преобразуются в дискретную модель.
В результате реализации дискретной модели на одном из... программирования программу для ЭВМ. Решение тестовых задач и анализ результатов позволяет убедиться в работоспособности разработанных алгоритмов и программ.
Решение конкретных задач и анализ полученных результатов позволяет судить об эффективности и применимости разработанных алгоритмов.
Если обнаружится несоответствие расчётных и экспериментальных данных - это значит, что физическая модель, математическая модель или дискретная модель не адекватны изучаемому объекту. В этом случае проводятся дополнительные исследования. Процесс исследования продолжается до момента устранения.
4. Три этапа развития вычислительной аэрогидродинамики
Этап(урав.) Результ.расчёт. Год расчёта ЭВМ Времярас-чёта
профиль реальн.ком.
IУр.потен. 1. Распр. давл.2. Индук. сопр. 1930 1968 IBM 360CDC 6600 5 м
IIУр.Эйлера 1. Трансзвук2. Гиперзвук 1971 1976 3707600 5
IIIУр. Н.-С. 1. Отр. потока2. Турб. 1975 1985 CRAV 5
Рис. Рис.
Рис. Методы расчета параметров течения
Тема 2
Физические свойства жидкостей и газов
1. Различные состояния вещества. Твёрдые тела, жидкости и газы. Силы, действующие на жидкости.
2. Основные свойства реальных жидкостей.
3. Поверхностное натяжение.
4. Уравнение состояния. Адиабата Тэйда.
1. Различные состояния вещества. Твёрдые тела, жидкости и газы
В природе различают четыре агрегатных состояния вещества: твёрдое, жидкое, газообразное и плазменное. Жидкость занимает промежуточное положение между твёрдыми телами и газами. Свойства жидкостей при низкой температуре и высоком давлении близки к свойствам твёрдых тел, а при высокой температуре и низком давлении - к свойствам газов.
Жидкость, как всякое тело, имеет молекулярное строение, т.е. состоит из молекул, объём пустот между атомами намного превосходит объём самих молекул. Причём в жидкостях и твёрдых телах объём пустот между молекулами меньше, а межмолекулярные силы больше, чем в газах. Виду бесконечной малости молекул и пустот между ними по сравнению с рассматриваемыми объёмами жидкости можно рассматривать жидкости и газы в виде... сплошной среды, придавая ей свойства непрерывности.
Жидкость - это физическое тело, обладающее лёгкой подвижностью частиц, текучестью и способное изменять свою форму под воздействием внешних сил.
Жидкости разделяют на сжимаемые (газообразные) и несжимаемые или весьма малосжимаемые (капельные).
Для облегчения изучения законов движения жидкости вводят понятия идеальной и реальной жидкости.
Идеальные - невязкие жидкости, обладающие абсолютной подвижностью, т.е. отсутствием сил трения и касательных напряжений и абсолютной неизменностью а объёме под воздействием внешних сил.
Реальные - вязкие жидкости, обладающие сжимаемостью, сопротивлением растягивающим и сдвигающим усилиям и достаточной подвижностью, т.е. наличием сил трения и касательных напряжений.
Реальные жидкости могут быть ньютоновскими и неньютоновскими (бингамовскими). В ньютоновских жидкостях при движении одного слоя жидкости относительно другого величина касательного напряжения пропорциональна скорости сдвига. При относительном покое эти напряжения равны нулю. Такая закономерность была установлена Ньютоном в 1686 году, поэтому эти жидкости (вода, масло, бензин, керосин, глицерин и др.) называют ньютоновскими жидкостями.
Неньютоновские жидкости не обладают большой подвижностью и отличаются от ньютоновских жидкостей наличием касательных напряжений (внутреннего трения) в состоянии покоя. Эта особенность была подмечена Ф.Н.Шведовым (1889), а затем Бингемом (1916), поэтому такие жидкости (битум, гидросмеси, глинистый раствор, коллоиды, нефтепродукты при температуре, близкой к температуре застывания) получили и другое название - бингемовские.
Силы, действующие в жидкости, принято делить на внутренние и внешние.
Внутренние силы представляют собой силы взаимодействия частиц жидкости, внешние силы делятся на силы поверхностные и объёмные.
Поверхностные силы (сжатие, давление, растяжение, силы трения) приложены к поверхностям, ограничивающим объём жидкости.
Объёмные силы (например, сила тяжести, сила инерции, электромагнитная сила) распределяются по всему объёму жидкости.
С термодинамической точки зрения состояние жидкости или пара характеризуется тремя параметрами: давлением..., плотностью... и температурой Т, связанными между собой уравнением состояния.
Исходной единицей давления в Международной системе единиц СИ является паскаль:
...
На практике используют более крупные единицы - гектапаскаль (1гПа =... Па), килопаскаль (1кПа =... Па), бар (1бар =... Па) и метапаскаль (1МПа =... Па).
В технической литературе часто встречается другая единица измерения давления - техническая атмосфера (ат).
...
Плотность выражается в единицах массы, приходящихся на единицу объёма.
Исходной единицей массы в СИ служит
1 кг
Размерность плотности
...
Основные гипотезы и понятия сплошной среды
Классическая гидромеханика основана на трёх утверждениях:
1) справедлива классическая механика - механика Ньютона
2) справедлива классическая термодинамика
3) справедлива гипотеза сплошности.
Первое утверждение предполагает, что изучаются движения со скоростями, малыми по сравнению со скоростями света и рассматриваются объекты, размеры которых существенно превосходят размеры микромира.
Второе утверждение предполагает, что в окрестности каждой точки жидкость находится в состоянии термодинамического равновесия, вследствие чего можно пользоваться термодинамическими законами.
Третье утверждение предполагает замену реальной жидкости с
её дискретным молекулярным строением моделью сплошного распределения вещества по рассматриваемому объёму. Возможность такой замены и носит название гипотезы сплошности.
Плотность жидкости в данной точке определяется как предел:...
В системе СИ единица плотности...
В технических приложениях часто используется такая единица
СИ - вес единицы объёма или удельный вес:
...
Объёмные и поверхностные силы
Поверхностные силы (сжатие, давление, растяжение, силы трения) приложены к поверхностям, ограничивающим объём жидкости.
Объёмные силы (например, силы тяжести, сила инерции, электромагнитная сила) распределяются по всему объёму жидкости.
Пусть... - главный вектор объёмных сил, действующих в объёме.... Тогда вводится понятие плотности распределения
объёмных сил в виде предела
...
Рассмотрим поверхностные силы. Пусть... - главный вектор силы, приложенной с одной стороны, к площадке.... Индекс "..."
означает не проекцию силы, а указание на то, что сила действует на
площадке..., произвольно ориентированной в пространстве. Введём
в рассмотрение вместо силы напряжение
...
Рассмотрим тетраэдр, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а четвёртая ориентирована произвольным образом.
...
...
Обозначим площади граней ...
Ориентация площади определяется единичной нормалью... с направляющими косинусами.... Тогда справедливы соотношения
...
Пусть высота тетраэдра равна.... Тогда его объём равен
... . Воспользуемся вторым законом Ньютона и со-
ставим уравнение движения тетраэдра:
...
...
где... - ускорение центра масс тетраэдра.
Переходя к пределу (устремляя... ), получим
...
Получим формулу Коши, утверждающую, что напряжения на гранях образуют систему взаимно уравновешенных напряжений.
Проектируя векторное уравнение на оси координат, получим три скалярных уравнения:
...
...
...
Напряжённое состояние в произвольной точке сплошной среды характеризуется девятью компонентами, образующими тензор второго ранга или диаду:
...
Тензор напряжений в произвольной точке пространства обладает свойством симметрии (теорема Коши о взаимности касательных напряжений)
...
Он содержит лишь шесть независимых компонент.
Рассмотрим равенство Коши для случая отсутствия касательных напряжений, т.е. полагая...= 0. Поскольку вязкость по гипотезе Ньютона проявляется только при наличии неоднородного поля скоростей, сделанное предположение будет соответствовать либо покою жидкости, либо её движению как твёрдого тела6 либо равенству нулю вязкости (... = 0).
Итак
...
С другой стороны,
...
Сравнивая равенства, находим
...
Введём понятие давления Р согласно равенствам
...
Таким образом, в случае отсутствия касательных напряжений давление в точке является скалярной величиной, т.е. оно не зависит от ориентации площадки, проходящей через рассматриваемую точку. Знак минус означает, что давление рассматривается как сжимающее напряжение.
Температура жидкости выражается в единицах градусов абсолютной шкалы
...
2. Основные свойства реальных жидкостей
Сжимаемость. При сжатии реальные жидкости незначительно уменьшаются в объёме. Свойство жидкостей изменять объём при изменении давления характеризуется коэффициентом объёмного сжатия..., представляющим собой относительное изменение объёма жидкости... при изменении давления Р на единицу
...
где... - первоначальный объём жидкости,...
... - изменение объёма... при увеличении давления на
величину...
Модулем объёмной упругости жидкости... называется величина, обратная коэффициенту объёмного сжатия.... Для воды при атмосферном давлении он составляет около 2000 МПа.
При повышении давления на 0.1 МПа объём воды уменьшается всего лишь на... первоначального объёма.
Коэффициент объёмного сжатия для других капельных жидкостей такого же порядка, поэтому в большинстве случаев сжимаемостью капельных жидкостей можно пренебречь.
Температурное расширение
Это свойство жидкостей изменять свой объём. Характеризуется коэффициентом температурного расширения..., представляющим собой относительное изменение объёма жидкости... при изменении температуры... на 1 С и постоянном давлении
...
Коэффициент температурного расширения... при.. = 20 С и давлении... Па:
для воды 0.00015 С
для спирта 0.00110 С
для нефти 0.00060 С
Вязкость - это способность жидкости оказывать сопротивление скольжению одного слоя относительно другого. Силы, возниающие при скольжении слоёв, называют силами внутреннего трения или силами вязкости. Появление их обусловлено наличием межмолекулярных связей между движущимися слоями. Вязкость характеризует степень подвижности частиц жидкости или текучести.
Согласно гипотезе, высказанной впервые Ньютоном в 1686 году, а затем экспериментально обоснованной профессором Н.И.Петровым в 1863 году, силы внутреннего трения, возникающие между соседними движущимися слоями жидкости, прямо пропорциональны градиенту скорости, площади трущихся слоёв и зависит от свойств жидкости, т.е.
...
или
...
где Т - сила трения
... - площадь поверхности трущихся слоёв
... - динамический коэффициент вязкости
... - касательное напряжение
... - градиент скорости
Из соотношения для силы трения можно определить динамическую вязкость
...
В гидравлических расчётах часто используется кинематическая вязкость, равная отношению динамической вязкости... к плотности... жидкости:
...
Вязкость жидкостей зависит от температуры. С увеличением температуры вязкость капельной жидкости уменьшается, а вязкость газов, наоборот, возрастает.
Кинематическая вязкость воды
при... = 20 имеет значение 101...
при... = 40 имеет значение 66...
при... = 60 имеет значение 48...
Вязкость жидкостей измеряют с помощью приборов - вискозиметров.
Для неньютоновских (бингемовских) жидкостей соотношение между касательными наряжениями... и градиентом скорости.... имеет вид
...
... - касательное напряжение в состоянии покоя.
Движение вязкопластических жидкостей начинается лишь после того, как внешней силой преодолено сопротивление сдвига....
3. Поверхностное натяжение
Молекулы жидкости, находящиеся на свободной поверхности (трение, раздела жидкость - газ или жидкость - пар), испытывают одностороннее воздействие со стороны соседних молекул. Поэтому на криволниейной поверхности должны возникать растягивающие усилия. Для количественного описания этого явления ещё в 1805 году Юнгом была проведена классическая аналогия с упругой плёнкой. Натяжение этой плёнки, т.е. усилие, приходящееся на единицу длины поперечного разреза плёнки, характеризуется коэффициентом поверхностного натяжения
...
Сила поверхностного натяжения стремится сократить площадь свободной поверхности. Их действие впервые обнаружено в капилярах, поэтому эти силы до сих пор часто называют капилярными.
Величина... зависит прежде всего от природы контактирующих сред. Числовые значения его для некоторых пар приведены в таблице.
Таблица
Вещество Контактирующая среда Температура, К Коэф. пов. натяжения...
| Вода | Воздух | 293 | 72,8 |
| | | |
| Жидкий | Пар. вещест-| 373 | 58,8 |
| водород | ва | | |
| | | | |
| Жидкий | | 21 | 2,0 |
| кислород | то же | 91 | 13,0 |
-----------------------------------------------------------------
Коэффициент поверхностного натяжения... падает с ростом температуры и практически не зависит от давления. Поверхностное натяжение может быть существенно снижено с помощью поверхностно-активных веществ, к числу которых относятся моющие средства.
Величина... может служить мерой свободной энергии, которой обладает граница раздела:
...
где... - площадь свободной поверхности.
В этом случае
...
что согласуется с ранее указанной размерностью.
Существование поверхностного натяжения должно приводить к возникновению на криволинейной поверхности перепада давлений, которые будут зависеть от конкретной геометрии поверхности.
Для объяснения этого факта рассмотрим равновесие элемента неплоской поверхности с линейными размерами... и... и главными радиусами кривизны... и... соответственно.
...
...
Равнодействующие сил поверхностного натяжения, действующих на границе выделенного контура, равны... и..., а возникающая вследствие этого сила, действующая по нормали к выделенной площадке, в первом приближении равна
...
С учётом того, что
...
имеем выражение для силы
...
Эта величина, очевидно, и есть скачок давления на поверхности раздела двух сред, обусловленный поверхностным натяжением.
Обозначив теперь через... и... давление в средах на границе раздела из условия равновесия элементарной площадки, запишем соотношение
...
которое называется формулой Лапласа.
Для цилиндрических поверхностей с круговым поперечным сечением радиуса... имеем... =...,... =... и формула Лапласа принимает вид:
...
В случае сферических поверхностей... =... =... и тогда получаем:
...
Если радиус сферической полости мал, то давления, развиваемое поверхностным натяжением, могут стать значительными.
...
...
Весьма характерной является система газ - жидкость - твёрдая стенка. В этом случае вводят значение краевого угла (угла... или угла смачивания).
Характерные значения краевых углов приведены в таблице
Таблица
| Тв. вещества| Жидкость | Кр. угол, град | | | |
|||| Сталь | | |Сталь | ВодаЖидкий водородЖидкий кислородРтуть | 70 - 90 || 0 || 0 || 128...148 |
Если ..., жидкость называется смачивающей, если...
- несмачивающей.
Высота подъёма или опускания жидкости в капиляре определяется с помощью соотношения
...
где... - диаметр капиляра, а... - угол смачивания.
Уравнение состояния воды. Адиабата Тэйда
Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давление, плотность, температура) существует определённая зависимость.
Уравнение
...
устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния.
Поэтому состояние любого газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.
Для идеального газа уравнение состояния можно представить в виде
...
где... - газовая постоянная, зависящая от
относительной молекулярной массы.... Для воздуха... = 29,
... = 287....
Существенное отклонение свойств воздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давления и низких температурах. На состояние газа влияют такие процессы, как диссоциация и....
Уравнение состояния воды
Пусть в равновесном состоянии справедливо уравнение
. Тогда при малых отклонениях параметров Р и Т от... и... уравнение состояния воды в линейном приближении можно записать в форме, предложенной Буссинеском:
...
где - коэффициент изотермической сжимае-
мости
- коэффициент теплового расширения При температуре 293 К
...
Зависимость... от давления весьма стойкая.
Адиабатические процессы, характеризующиеся отсутствием внешнего подвода или отвода тепла, протекают в воде практически при постоянной температуре. Это объясняется особенностью молекулярного строения жидкости. Ввиду большой плотности упаковки молекулы жидкости помимо обмена импульсами в... движении испытывают дополнительные силы отталкивания. При сжатии жидкости даже без нагревания развивается большое внутреннее давление нетеплового происхождения. Изменение давления происходит только в результате давления происходит только в результате изменения его механической компоненты.
В случае значительных изменений давления связь между плотностью и давлением становится существенно нелинейной. Наиболее широкое распространение получило эмпирическое уравнение...
, которое носит название уравнения Тэйда:
...
где С и... - константы ( С... 3200... Па,... = 7.15).
Уравнение Тэйда устанавливает зависимость плотности только от давления. Это означает, что оно описывает баротропный процесс.
Тема 3
Кинематика течений жидкости
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока.
3. Кинематика вихрей. Циркуляция скорости.
Кинематикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения без выяснения причин его возникновения. Все кинематические величины, характеризующие движение твёрдого тела и движение отдельных точек (расстояния, скорости, ускорения и т.д.), рассматриваются как функции времени.
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа
Для описания движения сплошной среды возможны два подхода. Один из них называется лагранжевым, другой - эйлеровым.
Лагранжев метод описания движения относится к типу отсчётных. В некоторый (начальный) момент времени... каждая из жидких частиц маркируется путём присвоения ей значения координат в данный момент времени.
В трёхмерном пространстве введём обозначения
...
В дальнейшем прослеживается движение каждой частицы индивидуально. При таком подходе положение частицы в каждый момент времени
... будет зависеть от параметров а,б,с и..., которые назы-
ваются переменными Лагранжа. Можно записать, что вектор положения
жидкой частицы равен
...
Скорость жидкой частицы выразится через производную радиус-вектора
...
а ускорение через производную скорости
...
В последних двух формулах при дифференцировании параметры а,б,с являются постоянными,... и... являются только функционалами времени и в этом случае энергии дифференцирования... и... тождественны.
Эйлеров метод описания движения относится к типу пространственных. В каждой точке пространства с координатами... изучаются параметры движения в различные моменты времени.... Таким образом, скорость жидкости в различных точках пространства должна быть функцией четырёх переменных..., называемых переменными Эйлера,
...
а её дифференциал
...
В движущейся среде приращения... не...
независимыми, а соответственно равны
...
Поэтому справедливо равенство
...
где
...
Это означает, что полное ускорение... индивидуальной жидкой частицы, находящейся в момент времени... в точке пространства
с координатами... , состоит из двух частей: локального ускоре-
ния..., обусловленного изменением скорости во времени в данной
точке, и конвективного ускорения..., обусловленного неоднородностью поля скоростей в окрестности данной точки и связанного с этим обстоятельством конвективного переноса.
Производная... носит название индивидуальной или субстанциональной производной.
Если... , поле скоростей стационарно, однако это ещё
не означает, что в жидкости отсутствуют ускорения. Стационарность
или нестационарность поля скоростей зависит от выбора системы координат.
Если... = 0, поле скоростей однородно.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока
Траекторией жидкой частицы называется геометрическое место точек пространства, через которое частица последовательно проходит во времени.
В переменных Лагранжа траекторию определяет уравнение
...
Если задача решена в переменных Эйлера, то известно поле скоростей... и траекторию следует находить путём решения дифференциального уравнения
...
с начальным условием: при... .
Линией тока называется линия, в каждой точке которой в каждый момент времени скорость направлена по касательной к этой линии.
В векторной форме условие тангенциальности можно записать в виде
...
В проекциях на оси координат получим систему уравнений
...
которую можно переписать также в виде
...
Время здесь является фиксированным параметром.
В стационарном случае траектория и линия тока совпадают. В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока.
Поверхность тока определяется как поверхность, в каждой точке которой в фиксированный момент времени вектор скорости лежит в касательной плоскости. Такую поверхность можно образовать, например, путём проведения через замкнутую кривую непрерывной совокупности линий тока. В этом случае говорят о трубке тока.
2. Кинематика вихрей
Рассмотрим вектор вихря скорости, который определяется соотношением
...
называемый иногда вектором завихренности.
Линии в потоке жидкости, в каждой точке которой вектор вихря скорости является касательным к данной линии, называются вихревыми линиями.
...
...
Обобщение данного понятия на поверхность (вектор вихря в каждой точке поверхности должен лежать в касательной плоскости) даёт понятие вихревой поверхности или вихревого слоя.
Совокупность вихревых линий,проведенных через замкнутый контур, образует вихревую поверхность, а жидкость, заключённая внутри вихревой поверхности, - вихревую трубку.
Интенсивность вихревой трубки удобнее выразить через циркуляцию вектора скорости Г.
В общем случае Г определяется как
...
где... - вектор перемещения вдоль произвольного контура, соединяющего точки А и Б.
Если контур замкнут, то
...
Тема 4
Система уравнений гидростатики.
Динамика течений невязкой (идеальной) жидкости
1. Уравнение неразрывности.
2. Уравнение Эйлера.
3. Уравнение адиабатического движения жидкости.
4. Уравнения Эйлера в форме Громеки.
5. Гидростатика.
6. Уравнение Бернулли.
Система уравнений, описывающих течение жидкостей и газов, основывается на фундаментальных законах сохранения. К ним относятся законы сохранения массы, количества движения, энергии.
Уравнения записываются в интегральной или дифференциальной форме в зависимости от типа решаемой задачи.
Рассмотрим систему уравнений, которая описывает динамику течений невязкой (идеальной ) жидкости.
Идеальной называется жидкость, у которой нет трения, т.е. жидкие элементы, могут свободно перемещаться в касательном направлении один относительно другого. В такой жидкости отсутствует теплообмен между различными её участками, а тангенциальные и нормальные силы внутреннего трения не возникают.
В идеальной жидкости существуют силы только нормального давления, однозначно определяемые её плотностью и температурой. Идеальная жидкость - абстракция, которой можно пользоваться на практике, если скорости изменения деформации в жидкости малы. Поскольку касательные напряжения связаны с понятием вязкости, можно утверждать, что идеальная жидкость - это невязкая жидкость.
Движение идеальной жидкости будем рассматривать в поле сил, характеризуемых объёмной плотностью на единицу объёма жидкости.
1. Уравнение неразрывности
Вывод основных гидродинамических уравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения в гидродинамике.
Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скоростей... и каких-либо двух термодинамических величин, например,... - давления и... - плотности.
Скорость, давление и плотность жидкости будем относить к данным точкам пространства, а не к определённым частицам жидкости, передвигающимся во времени и в пространстве. То есть будем пользоваться переменными Эйлера.
...
...
Рассмотрим некоторый объём... пространства. Количество (масса) жидкости в этом объёме есть
...
Через элемент поверхности..., ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество........ жидкости.
Вектор... по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда... положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в него.
Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объёма...
...
где... - поверхность, ограничивающая выделенный объём....
С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объёме... можно записать в виде
...
Приравнивая оба выражения, получаем:
...
Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объёму
...
Таким образом,
...
Поскольку это равенство должно иметь место для любого выделенного объёма, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т.е.
...
Получили уравнение неразрывности.
... выражение... можно записать
...
В декартовых координатах
...
Вектор
...
называют плотностью потока жидкости.
Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единице времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.
2. Уравнения Эйлера
Выделим в жидкости конечный объём. Полная сила, действующая на выделенный объём жидкости, равна интегралу
...
взятому по поверхности рассматриваемого объёма. Преобразуем его в интеграл по объёму, имеем
...
Отсюда видно, что на каждый элемент объёма... жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила -.... Тогда на единицу объёма жидкости действует сила....
Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объёма жидкости, приравняв силу... произведению массы... единицы объёма жидкости на её ускорение
... (1)
Стоящая здесь производная... определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определённой передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту величину необходимо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам.
Изменение скорости... данной жидкой частицы в течение времени... складывается из двух частей:
- из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени...
- и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделённых расстоянием..., пройденным рассматриваемой частицей в течение времени....
Первая из этих частей равна
...
где производная берётся... при постоянных ...,
т.е. в заданной точке пространства.
Вторая часть изменения скорости равна
...
Таким образом,
...
или, разделив обе скорости равенства на...
...
Подставив полученное соотношение в (1), получим
...
Полученное уравнение движения жидкости - уравнение Эйлера (1755), и является одним из основных в гидродинамике.
Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу её объёма действует ещё сила..., где... есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения и уравнение принимает вид:
...
При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывали процессов диссоциации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными её участками.
Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости означает, что движение происходит адиабатически. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.
При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остаётся постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая... энтропию, отнесённую к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением
...
полная производная по времени означает изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно записать в виде
...
Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. С помощью уравнения неразрывности его можно написать в виде уравнения неразрывности для энтропии.
...
где... - плотность потока энтропии.
Иногда это условие используют в более простой форме. Если в некоторый момент времени энтропия одинакова во всех точках объёма жидкости, то она остаётся везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости.
В этих случаях уравнение адиабатичности записывается в виде
...
Изэнтропичностью движения можно воспользоваться и представить уравнения Эйлера в другом виде. Из термодинамических соотношений известно
...
... - тепловая функция единицы массы жидкости,
... - удельный объём, Т - температура.
Поскольку...., имеем просто
...
и поэтому
...
Уравнения Эйлера можно записать в виде
...
Воспользуемся известной формулой векторного анализа
...
уравнение Эйлера можно записать в другом виде
...
К уравнениям движения необходимо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость границах. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твёрдую поверхность.
На неподвижных стенках это означает, что должна обращаться в нуль нормальная к стенке компонента вектора скорости:
...
3. Гидростатика
Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера принимает вид
...
Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.
Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнения равновесия дают
...
т.е.... .
- давление одинаково во всех точках жидкости.
Притом плоскость жидкости постоянна во всём объёме. Направим ось... вертикально вверх, имеем
...
Откуда
...
Если поко