СОДЕРЖАНИЕ. 2
1. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ. 3
1.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ. 3
1.2 ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. 4
1.3 ЗАДАЧА О КОМПЛЕКТНОМ ПЛАНЕ. 5
1.4 ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ. 6
2. АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ И ИНСТРУМЕНТОВ. 9
2.1 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. 9
2.2 АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКОВАННОСТИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ. 11
2.3 СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ. 13
2.4 ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ. 17
3. МОДЕЛИ СОТРУДНИЧЕСТВА И КОНКУРЕНЦИИ. 19
3.1 СОТРУДНИЧЕСТВО И КОНКУРЕНЦИЯ ДВУХ ФИРМ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА. 19
3.2 КООПЕРАТИВНАЯ БИМАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ СОТРУДНИЧЕСТВА И КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ УЧАСТНИКОВ. 20
3.3 МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ И СОТРУДНИЧЕСТВА. 22
4. СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ОБЩЕСТВА. 24
4.1 МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОГАТСТВА В ОБЩЕСТВЕ. 24
4.2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЩЕСТВА ПО ПОЛУЧАЕМОМУ ДОХОДУ. 26
1. Оптимальное производственное планирование.
1.1 Линейная задача производственного планирования.
48 30 29 10 -удельные прибыли
нормы расхода- 3243 198
2312 96 - запасы ресурсов
6510 228
Обозначим x1,x2,x3,x4 - число единиц 1-й,2-й,3-й,4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:
P(x1,x2,x3,x4) =48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 --> max
3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4
2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4
6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4
x1,x2,x3,x4>=0
Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавим неотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, в силу этого добавляемые переменные называются балансовыми. Получается задача ЛП на максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства, и есть базисный набор переменных: x5 - в 1-м равенстве, x6 - во 2-м и x7 - в 3-м.
P(x1,x2,x3,x4)=48*x1+30*x2+29*x3+10*x4+ 0*x5+ 0*x6+ 0*x7 -->max
3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4+ x5 =198
2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4+ x6= 96
6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4 + x7=228
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0
48 30 29 10 0 0 0 Hi /qis
С Б Н Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7
0 Х5 198 3 2 4 3 1 0 0 66
0 Х6 96 2 3 1 2 0 1 0 48
0 Х7 228 6 5 1 0 0 0 1 38
Р 0 -48 -30 -29 -10 0 0 0
0 Х5 84 0 -0.5 3.5 3 1 0 -0.5 24
0 Х6 20 0 1.33 0.67 2 0 1 -0.33 30
48 Х1 38 1 0.83 0.17 0 0 0 0.17 228
Р 1824 0 10 -21 -10 0 0 8
29 Х3 24 0 -0.14 1 0.86 0.29 0 -0.14
0 Х6 20 0 1.43 0 1.43 -0.19 1 -0.24
48 Х1 34 1 0.86 0 -0.14 -0.05 0 0.19
Р 2328 0 7 0 8 6 0 5
Так как все оценочные коэффициенты неотрицательны, то получено оптимальное решение. Оптимальное решение: x1=34, x2=0, x3=24, x4=0, x5=0, x6=20, x7=0. Максимум целевой функции Pmax= 2328.
Ресурсы 1 и 3 являются «узким местом» производства, так как при выполнении оптимального плана они используются полностью (без остатка).
1.2 Двойственная задача линейного программирования.
исходная задача двойственная задача
CX-->max YB-->min
AX=0YA>=C, Y>=0
P= 48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 -->max S= 198*y1+96*y2+228*y3 -->min
3*x1+2*x2+4*x3+3*x4=48
2*x1+3*x2+1*x3+2*x4=30
6*x1+5*x2+1*x3+0*x4=29
x1,x2,x3,x4>=03*y1+2*y2+0*y3>=10
y1,y2,y3>=0
Первый способ:
По первой теореме двойственности, оптимальные решения двойственной задачи (y1,y2,y3) равны оценочным коэффициентам при балансовых переменных последней симплекс-таблицы: у1=6, у2=0, у3=5. А экстремум двойственной задачи Smin=2328.
Второй способ:
По второй теореме двойственности, если какая-то компонента оптимального решения исходной задачи отлична от нуля, то соответствующее ей ограничение двойственной задачи на ее оптимальном решении выполняется как строгое равенство. А если какое-то из ограничений исходной задачи на ее оптимальном решении выполняется как строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи обязательно равна нулю.
Так как балансовая переменная второго ограничения (х6) отлична от нуля, следовательно оно выполняется на оптимальном решении как строгое неравенство, а поэтому у2=0. Так как х1 и х3 отличны от нуля, то получаем следующую систему уравнений: 3*у1 +6*у3 = 48
4*у1 + у3 = 29
Решая их, получаем оптимальные решения двойственной задачи: у1=6, у2=0, у3=5.
1.3 Задача о комплектном плане.
Имеем соотношения: x3:x1= 1; x4:x2=3 или х3=х1; х4=3*х2. Подставив эти выражения, получим задачу ЛП с двумя переменными.
77*х1 +60*х2 --> max
7*х1 +11*х2 ? 198
3*х1 + 9*х2 ? 96
7*х1 + 5*х2 ? 228
Наносим эти ограничения на плоскость х1х2 и ищем на допустимом множестве максимум функции. Для этого строим градиент grad(77,60). Искомая точка с координатами х1=0; х2?28.29 и максимум прибыли max?2178.
1.4 Оптимальное распределение инвестиций.
Имеем: 4 фирмы, инвестиции в размере 700 тыс. рублей. По этим 4 фирмам их нужно распределить. Размер инвестиций кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(m). Приходим к задаче:
f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max
x1+x2+x3+x4
x1,x2,x3,x4>=0
где xi - неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0=V2, 0max y/V2=x1x1 + x2 -->min
2*y+6*(1-y)>=V2,(1-y)/V2=x2 2*x1 +6*x2>=1
7*y+1*(1-y)>=V2,7*x1 +1*x2>=1
00.2 распределение богатства называется опасно несправедливым - это преддверие социальных волнений. Из функции d(z) можно получить другую функцию w(z) , она сообщает долю общественного богатства, которой владеет z-я часть самых богатых людей (w(z)=1-d(1-z)). Еще одну функцию можно получить из d(z): S(x)=d(1/2+x)-S(1/2-x). Она показывает, что часть общества, которая богаче, чем (?-х) самых бедных, но беднее (?-х) самых богатых, владеет S(x)-й частью всего общественного богатства. График функции S расположен только над отрезком [0, 1/2]. Говорят, что в обществе есть средний класс, если d(3/4)-d(1/4)>=1/2 или, что то же самое S(1/4)>=1/2 .
Дано: d(z)= exp((7/2)*ln(z))
Как видно на графиках d(0,5)=0,09 ,т.е. половина самых бедных членов общества владеет только 9% всего общественного богатства. Вычислим коэффициент Джинни:
? - J=( 0?1 (exp(7/2*ln(z)) dz)=0,22, значит J=0,28. Так как 0,28>0,2, то распределение богатства в обществе опасно несправедливо.
s(x)= exp((7/2)*ln(1/2+х)) - exp((7/2)*ln(1/2-х))
w(z)= 1 - exp((7/2)*ln(1-z))
Так как s(0,25)=0,36 и 0,36
Производные функций d(z) и w(z):
4.2 Распределение общества по получаемому доходу.
Пусть F(z) есть доля имеющих месячный доход меньше z по отношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функцию F(z) вполне правильно трактовать как функцию распределения случайной величины I - месячный доход случайного налогоплательщика. С.в. I можно считать непрерывной. Функция F(z) может быть интересна налоговой инспекции. С помощью функции F(z) можно найти несколько интересных характеристик общества. Например, средний доход, который находится как интеграл от 0 до бесконечности функции z*dF(z). Другой подобной характеристикой является коэффициент Рейнбоу, который находится как отношение решений уравнений F(z)=0.9 и F(z)=0.1, т.е. этот коэффициент показывает отношение доходов 10% членов общества с самыми высокими доходами к доходам 10% с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, то распределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.
Дано: F(z)= 1 – exp(6*ln(500/(500+z)))
Как видно на графике 1, F(9)=0,1 и F(234)=0,9. Это говорит о том, что 10% низкодоходных членов общества имеют доход не более 9 у.е., а 10% высокодоходных имеют доход более 234 у.е. Если взять эти числа как отношение, то получим Коэффициент Рейнбоу. Так как 234/9=26 и 26>20, то распределение доходов в данном обществе можно считать несправедливым.