Логический вывод на основе нечеткой метаимпликации
О.А. Мелихова
В работе подробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации, с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений, используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.
При выполнении нечетких
выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной проблемной
областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде нечеткого
подмножества прямого произведения 
, определяемого по формуле [7,13]:
, (1.1)
где 
–
область отправления, 
–
область прибытия, 
–
функция принадлежности 
нечеткому соответствию
R, а знак 
означает совокупность (объединение) множеств.
Если существует правило
типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A 
и B 
, то один из способов построения нечеткого соответствия R
состоит в следующем:
или
, (1.2)
где 
–
функции принадлежности элементов x, y соответственно множествам A и B.
Пример 1. Пусть X и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом нечеткие множества: A= “маленькие”, B= “большие”.
X=Y={1,2,3,4}, т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве {1,2,3,4}:
.
Для примера “если x
маленькое, то y большое” (или 
, где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно
построить нечеткое отношение R следующим образом:
y1
y2
y3
y4
x1
0
0,1
0,6
1
R=
x2
0
0,1
0,6
0,6
x3
0
0,1
0,1
0,1
x4
0
0
0
0
В качестве элементов
матрицы R записаны значения 
, вычисленные по формуле (1.2).
Для свертки нечетких
отношений чаще выбирается свертка max-min (максиминная
композиция). Пусть R – нечеткое соответствие множества X и
множества Y, а S –
нечеткое соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие
между X и V определяется как свертка (композиция) 
, где
или
. (1.3)
Пример 2. Пусть 
и заданы нечеткие
множества A 
= “не маленькие”, H 
= “очень большие”, где
.
Тогда для правила “если
y не маленькое, то v очень большое” (или 
), в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S
определяется как
v1
v2
v3
v4
y1
0
0
0
0
S=
y2
0
0
0,4
0,4
y3
0
0
0,5
0,9
y4
0
0
0,5
1
Если теперь по формуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в примере 1.1, то из двух отношений:
если x маленькое, то y большое,
если y не маленькое, то v очень большое
можно построить нечеткое отношение из X в V.
y1
y2
y3
y4
v1
v2
v3
v4
x1
0
0,1
0,6
1
y1
0
0
0
0
=
x2
0
0,1
0,6
0,6
y2
0
0
0,4
0,4
=
x3
0
0,1
0,1
0,1
y3
0
0
0,5
0,9
x4
0
0
0
0
y4
0
0
0,5
1
v1
v2
v3
v4
x1
0
0
0,5
1
=
x2
0
0
0,5
0,6
x3
0
0
0,1
0,1
x4
0
0
0
0
Модель принятия решений
на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных
состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в
виде тройки (X,R,Y), где 
– базовые множества, на которых заданы,
соответственно, входы 
и выходы 
системы, R –
нечеткое соответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной
качественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственной
формализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия
решений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа
“если 
, то 
, иначе, если 
, то 
, иначе, ..., если 
, то 
”. Здесь , ,..., –
нечеткие подмножества, определенные на базовом множестве X, а , ,..., –
нечеткие подмножества из базового множества Y. Все эти нечеткие подмножества
задаются функциями принадлежности 
и 
.
Способ построения
нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если , то ” и определяется функцией принадлежности 
, получаемой по формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами
понимается как или-связка, поскольку общее нечеткое отношение состоит из:
правило 1, или правило 2 , или, ..., или правило N. Поэтому общее отношение R
формально определяется следующим образом:
, где i=1,..., N.
(1.4)
Если предположить, что
мы имеем нечеткое событие 
, т.е. входную ситуацию, представленную нечетким
подмножеством, и известно общее отношение R, тогда результирующее действие
выводится по композиционному правилу вывода: 
. Значение функции принадлежности для 
вычисляется посредством
максиминной операции, определяемой уравнением
.
(1.5)
Рассмотренный логический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо зарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также при принятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.
Список литературы
Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М.: Математика сегодня, 1974, с.5-49.
Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1990, 288с.