Золотое сечение » Рефераты: скачать бесплатно рефераты на любую тему.

Золотое сечение

Владивостокское художественное училище

РЕФЕРАТ

на тему: «Золотое сечение»

Выполнила: Миронова С.Д.

Группа: 1-1

Принял:

Владивосток

2000

Содержание

| Введение………………………………………………………………………………… | 3 |
|2. Золотое сечение – гармоническая пропорция………………………………………… |4 |
|3. Второе золотое сечение………………………………………………………………… |5 |
|4. Золотой треугольник (пентаграмма)...………………………………………………… |6 |
|5. История золотого сечения……………………………………………………………… |8 |
|6. Ряд Фибоначчи………………………………………………………………………….. |12 |
|7. Обобщенное золотое сечение………………………………………………………….. |13 |
|8. Принципы формообразования в природе……………………………………………... |15 |
|9. Золотое сечение и симметрия………………………………………………………….. |17 |
|10. Разгадка тайны золотого |18 |
|сечения.............................................................|20 |
|..................... |21 |
|11. Золотое сечение в скульптуре………………………………………………………… |23 |
|12. Золотое сечение в архитектуре……………………………………………………….. | |
|13. Золотое сечение в живописи. Золотая спираль……………………………………… |27 |
|14. "Необходимо прекрасному зданию быть построенным |29 |
|подобно хорошо сложенному человеку" (Павел Флоренский)…………………… |33 |
|15. Закономерности построения пространственной композиции | |
|парка………………. | |
|Литература..........................................................| |
|............................................................. | |

Введение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

2. Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС; на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ.
Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью
AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

3. Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью
Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.
| | |Деление осуществляется |
| | |следующим образом. Отрезок АВ |
| | |делится в пропорции золотого |
|Рис. 3. Построение второго золотого | |сечения. Из точки С |
|сечения | |восставляется перпендикуляр |
| | |СD. Радиусом АВ находится |
| | |точка D, которая соединяется |
| | |линией с точкой А. Прямой угол|
| | |АСD делится пополам. Из точки |
| | |С проводится линия до |
| | |пересечения с линией AD. Точка|
| | |Е делит отрезок AD в отношении|
| | |56 : 44. |
| | | |
| | | |
|Рис. 3.1. Деление прямоугольника | | |
|линией второго золотого сечения | | |
| | | |
|На рисунке показано положение линии | | |
|второго золотого сечения. Она | | |
|находится посередине между линией | | |
|золотого сечения и средней линией | | |
|прямоугольника. | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
|4. Золотой треугольник | | |
| | | |
|Замечательный пример «золотого | | |
|сечения» представляет собой | | |
|правильный пятиугольник – выпуклый и | | |
|звездчатый (рис. 4). | | |
| | | |
|Из подобия треугольников ACD и ABE | | |
|можем вывести уже известную | | |
|пропорцию: | | |
| | | |
|Таким образом, звездчатый | | |
|пятиугольник также обладает «золотым | | |
|сечением». Интересно, что внутри | | |
|пятиугольника можно продолжить | | |
|строить пятиугольники, и это | | |
|отношение будет сохраняться. | | |
|Звездчатый пятиугольник называется | | |
|пентаграммой. Пифагорейцы выбрали | | |
|пятиконечную звезду в качестве | | |
|талисмана, она считалась символом | | |
|здоровья и служила опознавательным | | |
|знаком. | | |
|Бытует легенда о том, что один из | | |
|пифагорейцев больным попал в дом к | | |
|незнакомым людям. Они старались его | | |
|выходить, но болезнь не отступала. Не| | |
|имея средств заплатить за лечение и | | |
|уход, больной перед смертью попросил | | |
|хозяина дома нарисовать у входа | | |
|пятиконечную звезду, объяснив, что по| | |
|этому знаку найдутся люди, которые | | |
|вознаградят его. И на самом деле, | | |
|через некоторое время один из | | |
|путешествующих пифагорейцев заметил | | |
|звезду и стал расспрашивать хозяина | | |
|дома о том, каким образом она | | |
|появились у входа. После рассказа | | |
|хозяина гость щедро вознаградил его. | | |
|Пентаграмма была хорошо известна и в | | |
|Древнем Египте. Но непосредственно | | |
|как эмблема здоровья она была принята| | |
|лишь в Древней Греции. | | |
|В настоящее время существует | | |
|гипотеза, что пентаграмма – первичное| | |
|понятие, а «золотое сечение» | | |
|вторично. Пентаграмму никто не | | |
|изобретал, ее только скопировали с | | |
|натуры. Вид пятиконечной звезды имеют| | |
|пяти-лепестковые цветы плодовых | | |
|деревьев и кустарников, морские | | |
|звезды. Те и другие создания природы | | |
|человек наблюдает уже тысячи лет. | | |
|Поэтому естественно предположить, что| | |
|геометрический образ этих объектов – | | |
|пентаграмма – стала известна раньше, | | |
|чем «золотая» пропорция. | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
|Для нахождения отрезков золотой | | |
|пропорции восходящего и нисходящего | | |
|рядов можно пользоваться | | |
|пентаграммой. | | |
| | | |
|Рис. 5. Построение правильного | | |
|пятиугольника и пентаграммы | | |
|Для построения пентаграммы необходимо| | |
|построить правильный пятиугольник. | | |
|Способ его построения разработал | | |
|немецкий живописец и график Альбрехт | | |
|Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр | | |
|окружности, A – точка на окружности и| | |
|Е – середина отрезка ОА. | | |
|Перпендикуляр к радиусу ОА, | | |
|восставленный в точке О, пересекается| | |
|с окружностью в точке D. Пользуясь | | |
|циркулем, отложим на диаметре отрезок| | |
|CE = ED. Длина стороны вписанного в | | |
|окружность правильного пятиугольника | | |
|равна DC. Откладываем на окружности | | |
|отрезки DC и получим пять точек для | | |
|начертания правильного пятиугольника.| | |
|Соединяем углы пятиугольника через | | |
|один диагоналями и получаем | | |
|пентаграмму. Все диагонали | | |
|пятиугольника делят друг друга на | | |
|отрезки, связанные между собой | | |
|золотой пропорцией. | | |
|Каждый конец пятиугольной звезды | | |
|представляет собой золотой | | |
|треугольник. Его стороны образуют | | |
|угол 36° при вершине, а основание, | | |
|отложенное на боковую сторону, делит | | |
|ее в пропорции золотого | | |
|сечения. | | |
| | |Проводим прямую АВ. От точки А|
|Рис. 6. Построение золотого | |откладываем на ней три раза |
|треугольника | |отрезок О произвольной |
| | |величины, через полученную |
| | |точку Р проводим перпендикуляр|
| | |к линии АВ, на перпендикуляре |
| | |вправо и влево от точки Р |
| | |откладываем отрезки О. |
| | |Полученные точки d и d1 |
| | |соединяем прямыми с точкой А. |
| | |Отрезок dd1 откладываем на |
| | |линию Ad1, получая точку С. |
| | |Она разделила линию Ad1 в |
| | |пропорции золотого сечения. |
| | |Линиями Ad1 и dd1 пользуются |
| | |для построения «золотого» |
| | |прямоугольника. |
| | | |
|5. История золотого сечения |
| |
|Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход|
|Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть |
|предположение, что Пифагор свое знание золотого деления |
|позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции |
|пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из |
|гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера |
|пользовались соотношениями золотого деления при их создании. |
|Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма |
|фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, |
|пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий |
|Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его |
|имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых |
|зафиксированы пропорции золотого деления. |
|Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей|
|при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого |
|квадрата были основанием для построения динамических |
|прямоугольников. |
| |
|Рис. 7. Динамические прямоугольники |
|Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его |
|диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям |
|школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. |
|В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые |
|пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми |
|пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском |
|циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.|
| |
| |
|Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения |
|В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые |
|упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается |
|геометрическое построение золотого деления После Евклида |
|исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), |
|Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением |
|познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик |
|Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. |
|Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой |
|тайне. Они были известны только посвященным. |
|В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди |
|ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и|
|в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и |
|ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт |
|большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по |
|геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и |
|Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков |
|науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком |
|Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником|
|художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из |
|которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом |
|начертательной геометрии. |
|Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г|
|по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции |
|по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо|
|да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли |
|«Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, |
|ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была |
|восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств |
|золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее |
|«божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын,|
|бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть |
|олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок|
|– бога духа святого). |
|Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого |
|деления. Он производил сечения стереометрического тела, |
|образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал |
|прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он |
|дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до |
|сих пор как самое популярное. |
|В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами |
|трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому |
|варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот,|
|кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. |
|Это я и вознамерился сделать». |
|Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во |
|время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает |
|теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе |
|соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в |
|золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через |
|кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и |
|т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. |
|Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из|
|сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой |
|пропорции для ботаники (рост растений и их строение). |
|Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена |
|она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой |
|пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, |
|если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция |
|сохраняется до бесконечности». |
|Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в |
|сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения |
|(нисходящий ряд). |
|Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом |
|откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем |
|шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего |
|рядов: |
| |
| |
|Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции |
| |
|В последующие века правило золотой пропорции превратилось в |
|академический канон и, когда со временем в искусстве началась |
|борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой |
|выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в |
|середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения |
|профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические |
|исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было |
|неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает |
|явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он |
|абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее |
|универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга |
|были многочисленные последователи, но были и противники, которые |
|объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». |
| |
|Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека |
| |

Вернуться