Введение
2.Золотоесечение–гармоническаяпропорция
3.Второезолотоесечение
4.Золотойтреугольник(пентаграмма)
5.Историязолотогосечения
6.РядФибоначчи
7.Обобщенноезолотоесечение
8.Принципыформообразованиявприроде
9.Золотоесечениеисимметрия
10.Разгадкатайнызолотогосечения
11.Золотоесечениевскульптуре
12.Золотоесечениевархитектуре
13.Золотоесечениевживописи.Золотаяспираль
14."Необходимопрекрасномузданиюбытьпостроенным
подобнохорошосложенномучеловеку"(ПавелФлоренский)
15.Закономерностипостроенияпространственнойкомпозициипарка
Литература
Введение
Человекразличаетокружающиеегопредметыпоформе.Интерескформекакого-либопредметаможетбытьпродиктованжизненнойнеобходимостью,аможетбытьвызванкрасотойформы.Форма,восновепостроениякоторойлежатсочетаниесимметрииизолотогосечения,способствуетнаилучшемузрительномувосприятиюипоявлениюощущениякрасотыигармонии.Целоевсегдасостоитизчастей,частиразнойвеличинынаходятсявопределенномотношениидругкдругуикцелому.Принципзолотогосечения–высшеепроявлениеструктурногоифункциональногосовершенствацелогоиегочастейвискусстве,науке,техникеиприроде.
ЕщевэпохуВозрожденияхудожникиоткрыли,чтолюбаякартинаимеетопределенныеточки,невольноприковывающиенашевнимание,такназываемыезрительныецентры.Приэтомабсолютноневажно,какойформатимееткартина-горизонтальныйиливертикальный.Такихточеквсегочетыре,ирасположеныонинарасстоянии3/8и5/8отсоответствующихкраевплоскости.
Данноеоткрытиеухудожниковтоговремениполучилоназвание"золотоесечение"картины. Поэтому,длятогочтобыпривлечьвниманиекглавномуэлементуфотографии,необходимосовместитьэтотэлементсоднимиззрительныхцентров.
2.Золотоесечение–гармоническаяпропорция
Вматематикепропорцией(лат.proportio)называютравенстводвухотношений:a:b=c:d.
ОтрезокпрямойАВможноразделитьнадвечастиследующимиспособами:
*надверавныечасти–АВ:АС=АВ:ВС;
*надвенеравныечастивлюбомотношении(такиечастипропорциинеобразуют);
*такимобразом,когдаАВ:АС=АС:ВС.
Последнееиестьзолотоеделениеилиделениеотрезкавкрайнемисреднемотношении.
Золотоесечение–этотакоепропорциональноеделениеотрезкананеравныечасти,прикоторомвесьотрезоктакотноситсякбольшейчасти,каксамабольшаячастьотноситсякменьшей;илидругимисловами,меньшийотрезоктакотноситсякбольшему,какбольшийковсемуa:b=b:cилис:b=b:а.
Рис.1.Геометрическоеизображениезолотойпропорции
Практическоезнакомствосзолотымсечениемначинаютсделенияотрезкапрямойвзолотойпропорцииспомощьюциркуляилинейки.
Рис.2.Делениеотрезкапрямойпозолотомусечению.BC=1/2AB;CD=BC
ИзточкиВвосставляетсяперпендикуляр,равныйполовинеАВ.ПолученнаяточкаСсоединяетсялиниейсточкойА.НаполученнойлинииоткладываетсяотрезокВС,заканчивающийсяточкойD.ОтрезокADпереноситсянапрямуюАВ.ПолученнаяприэтомточкаЕделитотрезокАВвсоотношениизолотойпропорции.
ОтрезкизолотойпропорциивыражаютсябесконечнойиррациональнойдробьюAE=0,618...,еслиАВпринятьзаединицу,ВЕ=0,382...Дляпрактическихцелейчастоиспользуютприближенныезначения0,62и0,38.ЕслиотрезокАВпринятьза100частей,тобольшаячастьотрезкаравна62,аменьшая–38частям.
Свойствазолотогосеченияописываютсяуравнением:
x2–x–1=0.
Решениеэтогоуравнения:
Свойствазолотогосечениясоздаливокругэтогочисларомантическийореолтаинственностиичутьлинемистическогопоклонения.
3.Второезолотоесечение
Болгарскийжурнал«Отечество»(№10,1983г.)опубликовалстатьюЦветанаЦекова-Карандаша«Овторомзолотомсечении»,котороевытекаетизосновногосеченияидаетдругоеотношение44:56.
Такаяпропорцияобнаруженавархитектуре,атакжеимеетместоприпостроениикомпозицийизображенийудлиненногогоризонтальногоформата.
Рис.3.Построениевторогозолотогосечения
Делениеосуществляетсяследующимобразом.ОтрезокАВделитсявпропорциизолотогосечения.ИзточкиСвосставляетсяперпендикулярСD.РадиусомАВнаходитсяточкаD,котораясоединяетсялиниейсточкойА.ПрямойуголАСDделитсяпополам.ИзточкиСпроводитсялиниядопересеченияслиниейAD.ТочкаЕделитотрезокADвотношении56 : 44.
Рис.3.1.Делениепрямоугольникалиниейвторогозолотогосечения
Нарисункепоказаноположениелиниивторогозолотогосечения.Онанаходитсяпосерединемеждулиниейзолотогосеченияисреднейлиниейпрямоугольника.
4.Золотойтреугольник
Замечательныйпример«золотогосечения»представляетсобойправильныйпятиугольник–выпуклыйизвездчатый(рис. 4).
ИзподобиятреугольниковACDиABEможемвывестиужеизвестнуюпропорцию:
Такимобразом,звездчатыйпятиугольниктакжеобладает«золотымсечением».Интересно,чтовнутрипятиугольникаможнопродолжитьстроитьпятиугольники,иэтоотношениебудетсохраняться.
Звездчатыйпятиугольникназываетсяпентаграммой.Пифагорейцывыбралипятиконечнуюзвездувкачестветалисмана,онасчиталасьсимволомздоровьяислужилаопознавательнымзнаком.
Бытуетлегендаотом,чтоодинизпифагорейцевбольнымпопалвдомкнезнакомымлюдям.Онистаралисьеговыходить,ноболезньнеотступала.Неимеясредствзаплатитьзалечениеиуход,больнойпередсмертьюпопросилхозяинадоманарисоватьувходапятиконечнуюзвезду,объяснив,чтопоэтомузнакунайдутсялюди,которыевознаградятего.Инасамомделе,черезнекотороевремяодинизпутешествующихпифагорейцевзаметилзвездуисталрасспрашиватьхозяинадомаотом,какимобразомонапоявилисьувхода.Послерассказахозяинагостьщедровознаградилего.
ПентаграммабылахорошоизвестнаивДревнемЕгипте.НонепосредственнокакэмблемаздоровьяонабылаприняталишьвДревнейГреции.
Внастоящеевремясуществуетгипотеза,чтопентаграмма–первичноепонятие,а«золотоесечение»вторично.Пентаграммуниктонеизобретал,еетолькоскопировалиснатуры.Видпятиконечнойзвездыимеютпяти-лепестковыецветыплодовыхдеревьевикустарников,морскиезвезды.Теидругиесозданияприродычеловекнаблюдаетужетысячилет.Поэтомуестественнопредположить,чтогеометрическийобразэтихобъектов–пентаграмма–сталаизвестнараньше,чем«золотая»пропорция.
Длянахожденияотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящегорядовможнопользоватьсяпентаграммой.
Рис.5.Построениеправильногопятиугольникаипентаграммы
Дляпостроенияпентаграммынеобходимопостроитьправильныйпятиугольник.СпособегопостроенияразработалнемецкийживописециграфикАльбрехтДюрер(1471...1528).ПустьO–центрокружности,A–точканаокружностииЕ–серединаотрезкаОА.ПерпендикуляркрадиусуОА,восставленныйвточкеО,пересекаетсясокружностьювточкеD.Пользуясьциркулем,отложимнадиаметреотрезокCE=ED.ДлинасторонывписанноговокружностьправильногопятиугольникаравнаDC.ОткладываемнаокружностиотрезкиDCиполучимпятьточекдляначертанияправильногопятиугольника.Соединяемуглыпятиугольникачерезодиндиагоналямииполучаемпентаграмму.Вседиагоналипятиугольникаделятдругдруганаотрезки,связанныемеждусобойзолотойпропорцией.
Каждыйконецпятиугольнойзвездыпредставляетсобойзолотойтреугольник.Егостороныобразуютугол36°привершине,аоснование,отложенноенабоковуюсторону,делитеевпропорциизолотогосечения.
Рис.6.Построениезолотого
треугольника
ПроводимпрямуюАВ.ОтточкиАоткладываемнанейтриразаотрезокОпроизвольнойвеличины,черезполученнуюточкуРпроводимперпендикулярклинииАВ,наперпендикуляревправоивлевоотточкиРоткладываемотрезкиО.Полученныеточкиdиd1соединяемпрямымисточкойА.Отрезокdd1откладываемналиниюAd1,получаяточкуС.ОнаразделилалиниюAd1впропорциизолотогосечения.ЛиниямиAd1иdd1пользуютсядляпостроения«золотого»прямоугольника.
5.Историязолотогосечения
Принятосчитать,чтопонятиеозолотомделенииввелвнаучныйобиходПифагор,древнегреческийфилософиматематик(VIв.дон.э.).Естьпредположение,чтоПифагорсвоезнаниезолотогоделенияпозаимствовалуегиптянивавилонян.Идействительно,пропорциипирамидыХеопса,храмов,барельефов,предметовбытаиукрашенийизгробницыТутанхамонасвидетельствуют,чтоегипетскиемастерапользовалисьсоотношениямизолотогоделенияприихсоздании.ФранцузскийархитекторЛеКорбюзьенашел,чтоврельефеизхрамафараонаСетиIвАбидосеиврельефе,изображающемфараонаРамзеса,пропорциифигурсоответствуютвеличинамзолотогоделения.ЗодчийХесира,изображенныйнарельефедеревяннойдоскиизгробницыегоимени,держитврукахизмерительныеинструменты,вкоторыхзафиксированыпропорциизолотогоделения.
Грекибылиискуснымигеометрами.Дажеарифметикеобучалисвоихдетейприпомощигеометрическихфигур.КвадратПифагораидиагональэтогоквадратабылиоснованиемдляпостроениядинамическихпрямоугольников.
Рис.7.Динамическиепрямоугольники
Платон(427...347 гг.дон.э.)такжезналозолотомделении.Егодиалог«Тимей»посвященматематическимиэстетическимвоззрениямшколыПифагораи,вчастности,вопросамзолотогоделения.
ВфасадедревнегреческогохрамаПарфенонаприсутствуютзолотыепропорции.Приегораскопкахобнаруженыциркули,которымипользовалисьархитекторыискульпторыантичногомира.ВПомпейскомциркуле(музейвНеаполе)такжезаложеныпропорциизолотогоделения.
Рис.8.Античныйциркульзолотогосечения
Вдошедшейдонасантичнойлитературезолотоеделениевпервыеупоминаетсяв«Началах»Евклида.Во2-йкниге«Начал»даетсягеометрическоепостроениезолотогоделенияПослеЕвклидаисследованиемзолотогоделениязанималисьГипсикл(IIв.дон.э.),Папп(IIIв.н.э.)идр.ВсредневековойЕвропесзолотымделениемпознакомилисьпоарабскимпереводам«Начал»Евклида.ПереводчикДж. КампаноизНаварры(IIIв.)сделалкпереводукомментарии.Секретызолотогоделенияревностнооберегались,хранилисьвстрогойтайне.Онибылиизвестнытолькопосвященным.
ВэпохуВозрожденияусиливаетсяинтерескзолотомуделениюсредиученыхихудожниковвсвязисегоприменениемкаквгеометрии,такивискусстве,особенновархитектуреЛеонардодаВинчи,художникиученый,видел,чтоуитальянскиххудожниковэмпирическийопытбольшой,азнаниймало.Онзадумалиначалписатькнигупогеометрии,новэтовремяпоявиласькнигамонахаЛукиПачоли,иЛеонардооставилсвоюзатею.Помнениюсовременниковиисториковнауки,ЛукаПачолибылнастоящимсветилом,величайшимматематикомИталиивпериодмеждуФибоначчииГалилеем.ЛукаПачолибылученикомхудожникаПьероделлаФранчески,написавшегодвекниги,однаизкоторыхназывалась«Оперспективевживописи».Егосчитаюттворцомначертательнойгеометрии.
ЛукаПачолипрекраснопонималзначениенаукидляискусства.В1496гпоприглашениюгерцогаМороонприезжаетвМилан,гдечитаетлекциипоматематике.ВМиланепридвореМоровтовремяработалиЛеонардодаВинчи.В1509 г.вВенециибылаизданакнигаЛукиПачоли«Божественнаяпропорция»сблестящевыполненнымииллюстрациями,ввидучегополагают,чтоихсделалЛеонардодаВинчи.Книгабылавосторженнымгимномзолотойпропорции.СредимногихдостоинствзолотойпропорциимонахЛукаПачолинепреминулназватьиее«божественнуюсуть»каквыражениебожественноготриединствабогсын,боготецибогдухсвятой(подразумевалось,чтомалыйотрезокестьолицетворениебогасына,большийотрезок–богаотца,авесьотрезок–богадухасвятого).
ЛеонардодаВинчитакжемноговниманияуделялизучениюзолотогоделения.Онпроизводилсечениястереометрическоготела,образованногоправильнымипятиугольниками,икаждыйразполучалпрямоугольникисотношениямисторонвзолотомделении.Поэтомуондалэтомуделениюназваниезолотоесечение.Таконоидержитсядосихпоркаксамоепопулярное.
ВтожевремянасевереЕвропы,вГермании,надтемижепроблемамитрудилсяАльбрехтДюрер.Онделаетнаброскивведениякпервомувариантутрактатаопропорциях.Дюрерпишет.«Необходимо,чтобытот,кточто-либоумеет,обучилэтомудругих,которыевэтомнуждаются.Этояивознамерилсясделать».
СудяпоодномуизписемДюрера,онвстречалсясЛукойПачоливовремяпребываниявИталии.АльбрехтДюрерподробноразрабатываеттеориюпропорцийчеловеческоготела.ВажноеместовсвоейсистемесоотношенийДюреротводилзолотомусечению.Ростчеловекаделитсявзолотыхпропорцияхлиниейпояса,атакжелинией,проведеннойчерезкончикисреднихпальцевопущенныхрук,нижняячастьлица–ртомит.д.ИзвестенпропорциональныйциркульДюрера.
ВеликийастрономXVIв.ИоганКеплерназвалзолотоесечениеоднимизсокровищгеометрии.Онпервыйобращаетвниманиеназначениезолотойпропорциидляботаники(рострастенийиихстроение).
Кеплерназывалзолотуюпропорциюпродолжающейсамусебя«Устроенаонатак,–писалон,–чтодвамладшихчленаэтойнескончаемойпропорциивсуммедаюттретийчлен,алюбыедвапоследнихчлена,еслиихсложить,даютследующийчлен,причемтажепропорциясохраняетсядобесконечности».
Построениерядаотрезковзолотойпропорцииможнопроизводитькаквсторонуувеличения(возрастающийряд),такивсторонууменьшения(нисходящийряд).
Еслинапрямойпроизвольнойдлины,отложитьотрезокm,рядомоткладываемотрезокM.Наоснованииэтихдвухотрезковвыстраиваемшкалуотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящегорядов:
Рис.9.Построениешкалыотрезковзолотойпропорции
Впоследующиевекаправилозолотойпропорциипревратилосьвакадемическийканони,когдасовременемвискусственачаласьборьбасакадемическойрутиной,впылуборьбы«вместесводойвыплеснулииребенка».Вновь«открыто»золотоесечениебыловсерединеXIXв.В1855 г.немецкийисследовательзолотогосеченияпрофессорЦейзингопубликовалсвойтруд«Эстетическиеисследования».СЦейзингомпроизошлоименното,чтоидолжнобылонеминуемопроизойтисисследователем,которыйрассматриваетявлениекактаковое,безсвязисдругимиявлениями.Онабсолютизировалпропорциюзолотогосечения,объявивееуниверсальнойдлявсехявленийприродыиискусства.УЦейзингабылимногочисленныепоследователи,нобылиипротивники,которыеобъявилиегоучениеопропорциях«математическойэстетикой».
Рис.10.Золотыепропорциивчастяхтелачеловека
Рис.11.Золотыепропорциивфигуречеловека
Цейзингпроделалколоссальнуюработу.Онизмерилоколодвухтысяччеловеческихтелипришелквыводу,чтозолотоесечениевыражаетсреднийстатистическийзакон.Делениетелаточкойпупа–важнейшийпоказательзолотогосечения.Пропорциимужскоготелаколеблютсявпределахсреднегоотношения13 : 8=1,625инесколькоближеподходяткзолотомусечению,чемпропорцииженскоготела,вотношениикоторогосреднеезначениепропорциивыражаетсявсоотношении8 : 5=1,6.Уноворожденногопропорциясоставляетотношение1 : 1,к13годамонаравна1,6,ак21годуравняетсямужской.Пропорциизолотогосеченияпроявляютсяивотношениидругихчастейтела–длинаплеча,предплечьяикисти,кистиипальцевит.д.
СправедливостьсвоейтеорииЦейзингпроверялнагреческихстатуях.НаиболееподробноонразработалпропорцииАполлонаБельведерского.Подверглисьисследованиюгреческиевазы,архитектурныесооруженияразличныхэпох,растения,животные,птичьияйца,музыкальныетона,стихотворныеразмеры.Цейзингдалопределениезолотомусечению,показал,каконовыражаетсявотрезкахпрямойивцифрах.Когдацифры,выражающиедлиныотрезков,былиполучены,Цейзингувидел,чтоонисоставляютрядФибоначчи,которыйможнопродолжатьдобесконечностиводнуивдругуюсторону.Следующаяегокнигаимеланазвание«Золотоеделениекакосновнойморфологическийзаконвприродеиискусстве».В1876г.вРоссиибылаиздананебольшаякнижка,почтиброшюра,сизложениемэтоготрудаЦейзинга.АвторукрылсяподинициаламиЮ.Ф.В.Вэтомизданиинеупомянутониоднопроизведениеживописи.
ВконцеXIX–началеXX вв.появилосьнемалочистоформалистическихтеорииоприменениизолотогосечениявпроизведенияхискусстваиархитектуры.Сразвитиемдизайнаитехническойэстетикидействиезаконазолотогосеченияраспространилосьнаконструированиемашин,мебелиит.д.
6.РядФибоначчи
СисториейзолотогосечениякосвеннымобразомсвязаноимяитальянскогоматематикамонахаЛеонардоизПизы,болееизвестногоподименемФибоначчи(сынБоначчи).ОнмногопутешествовалпоВостоку,познакомилЕвропусиндийскими(арабскими)цифрами.В1202гвышелвсветегоматематическийтруд«Книгаобабаке»(счетнойдоске),вкоторомбылисобранывсеизвестныенатовремязадачи.Однаиззадачгласила«Сколькопаркроликовводингодотоднойпарыродится».Размышляянаэтутему,Фибоначчивыстроилтакойрядцифр:
Месяцы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ит.д.
Парыкроликов
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
ит.д.
Рядчисел0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55ит.д.известенкакрядФибоначчи.Особенностьпоследовательностичиселсостоитвтом,чтокаждыйеечлен,начинаястретьего,равенсуммедвухпредыдущих2+3=5;3+5=8;5+8=13,8+13=21;13+21=34ит.д.,аотношениесмежныхчиселрядаприближаетсякотношениюзолотогоделения.Так,21 : 34=0,617,а34 : 55=0,618.ЭтоотношениеобозначаетсясимволомФ.Толькоэтоотношение–0,618 : 0,382–даетнепрерывноеделениеотрезкапрямойвзолотойпропорции,увеличениеегоилиуменьшениедобесконечности,когдаменьшийотрезоктакотноситсякбольшему,какбольшийковсему.
Фибоначчитакжезанималсярешениемпрактическихнуждторговли:спомощьюкакогонаименьшегоколичествагирьможновзвеситьтовар?Фибоначчидоказывает,чтооптимальнойявляетсятакаясистемагирь:1,2,4,8,16...
7.Обобщенноезолотоесечение
РядФибоначчимогбыостатьсятолькоматематическимказусом,еслибынетообстоятельство,чтовсеисследователизолотогоделенияврастительномивживотноммире,неговоряужеобискусстве,неизменноприходиликэтомурядукакарифметическомувыражениюзаконазолотогоделения.
УченыепродолжалиактивноразвиватьтеориючиселФибоначчиизолотогосечения.Ю. МатиясевичсиспользованиемчиселФибоначчирешает10-юпроблемуГильберта.Возникаютизящныеметодырешениярядакибернетическихзадач(теориипоиска,игр,программирования)сиспользованиемчиселФибоначчиизолотогосечения.ВСШАсоздаетсядажеМатематическаяФибоначчи-ассоциация,котораяс1963годавыпускаетспециальныйжурнал.
ОднимиздостиженийвэтойобластиявляетсяоткрытиеобобщенныхчиселФибоначчииобобщенныхзолотыхсечений.
РядФибоначчи(1,1,2,3,5,8)иоткрытыйимже«двоичный»рядгирь1,2,4,8,16...напервыйвзглядсовершенноразные.Ноалгоритмыихпостроениявесьмапохожидругнадруга:впервомслучаекаждоечислоестьсуммапредыдущегочислассамимсобой2=1+1;4=2+2...,вовтором–этосуммадвухпредыдущихчисел2=1+1,3=2+1,5=3+2....Нельзялиотыскатьобщуюматематическуюформулу,изкоторойполучаютсяи«двоичный»ряд,ирядФибоначчи?Аможетбыть,этаформуладастнамновыечисловыемножества,обладающиекакими-тоновымиуникальнымисвойствами?
Действительно,зададимсячисловымпараметромS,которыйможетприниматьлюбыезначения:0,1,2,3,4,5...Рассмотримчисловойряд,S+1первыхчленовкоторого–единицы,акаждыйизпоследующихравенсуммедвухчленовпредыдущегоиотстоящегоотпредыдущегонаSшагов.Еслиn-йчленэтогорядамыобозначимчерез?S(n),тополучимобщуюформулу?S(n)=?S(n–1)+?S(n–S–1).
Очевидно,чтоприS=0изэтойформулымыполучим«двоичный»ряд,приS=1–рядФибоначчи,приS=2,3,4.новыерядычисел,которыеполучилиназваниеS-чиселФибоначчи.
ВобщемвидезолотаяS-пропорцияестьположительныйкореньуравнениязолотогоS-сеченияxS+1–xS–1=0.
Нетруднопоказать,чтоприS=0получаетсяделениеотрезкапополам,априS=1–знакомоеклассическоезолотоесечение.
ОтношениясоседнихS-чиселФибоначчисабсолютнойматематическойточностьюсовпадаютвпределесзолотымиS-пропорциями!Математикивтакихслучаяхговорят,чтозолотыеS-сеченияявляютсячисловымиинвариантамиS-чиселФибоначчи.
Факты,подтверждающиесуществованиезолотыхS-сеченийвприроде,приводитбелорусскийученыйЭ.М. Сороковкниге«Структурнаягармониясистем»(Минск,«Наукаитехника»,1984).Оказывается,например,чтохорошоизученныедвойныесплавыобладаютособыми,ярковыраженнымифункциональнымисвойствами(устойчивывтермическомотношении,тверды,износостойки,устойчивыкокислениюит.п)тольковтомслучае,еслиудельныевесаисходныхкомпонентовсвязаныдругсдругомоднойиззолотыхS-пропорций.Этопозволилоавторувыдвинутьгипотезуотом,чтозолотыеS-сеченияестьчисловыеинвариантысамоорганизующихсясистем.Будучиподтвержденнойэкспериментально,этагипотезаможетиметьфундаментальноезначениедляразвитиясинергетики–новойобластинауки,изучающейпроцессывсамоорганизующихсясистемах.
СпомощьюкодовзолотойS-пропорцииможновыразитьлюбоедействительноечисловвидесуммыстепенейзолотыхS-пропорцийсцелымикоэффициентами.
Принципиальноеотличиетакогоспособакодированиячиселзаключаетсявтом,чтооснованияновыхкодов,представляющиесобойзолотыеS-пропорции,приS>0оказываютсяиррациональнымичислами.Такимобразом,новыесистемысчислениясиррациональнымиоснованиямикакбыставят«сголовынаноги»историческисложившуюсяиерархиюотношениймеждучисламирациональнымиииррациональными.Деловтом,чтосначалабыли«открыты»числанатуральные;затемихотношения–числарациональные.Илишьпозже–послеоткрытияпифагорейцаминесоизмеримыхотрезков–насветпоявилисьиррациональныечисла.Скажем,вдесятичной,пятеричной,двоичнойидругихклассическихпозиционныхсистемахсчислениявкачествесвоеобразнойпервоосновыбыливыбранынатуральныечисла–10,5,2,–изкоторыхужепоопределеннымправиламконструировалисьвседругиенатуральные,атакжерациональныеииррациональныечисла.
Своегородаальтернативойсуществующимспособамсчислениявыступаетновая,иррациональнаясистема,вкачествепервоосновы,началасчислениякоторойвыбраноиррациональноечисло(являющееся,напомним,корнемуравнениязолотогосечения);черезнегоужевыражаютсядругиедействительныечисла.
Втакойсистемесчислениялюбоенатуральноечисловсегдапредставимоввидеконечной,–анебесконечной,какдумалиранее!–суммыстепенейлюбойиззолотыхS-пропорций.Этооднаизпричин,почему«иррациональная»арифметика,обладаяудивительнойматематическойпростотойиизяществом,какбывобралавсебялучшиекачестваклассическойдвоичнойи«Фибоначчиевой»арифметик.
8.Принципыформообразованиявприроде
Все,чтоприобреталокакую-тоформу,образовывалось,росло,стремилосьзанятьместовпространствеисохранитьсебя.Этостремлениенаходитосуществлениевосновномвдвухвариантах–роствверхилирасстиланиепоповерхностиземлиизакручиваниепоспирали.
Раковиназакрученапоспирали.Еслиееразвернуть,тополучаетсядлина,немногоуступающаядлинезмеи.Небольшаядесятисантиметроваяраковинаимеетспиральдлиной35см.Спиралиоченьраспространенывприроде.Представлениеозолотомсечениибудетнеполным,еслинесказатьоспирали.
Рис.12.СпиральАрхимеда
ФормаспиральнозавитойраковиныпривлеклавниманиеАрхимеда.Онизучалееивывелуравнениеспирали.Спираль,вычерченнаяпоэтомууравнению,называетсяегоименем.Увеличениееешагавсегдаравномерно.ВнастоящеевремяспиральАрхимедаширокоприменяетсявтехнике.
ЕщеГетеподчеркивалтенденциюприродыкспиральности.Винтообразноеиспиралевидноерасположениелистьевнаветкахдеревьевподметилидавно.Спиральувиделиврасположениисемянподсолнечника,вшишкахсосны,ананасах,кактусахит.д.Совместнаяработаботаниковиматематиковпролиласветнаэтиудивительныеявленияприроды.Выяснилось,чтоврасположениилистьевнаветке(филотаксис),семянподсолнечника,шишексосныпроявляетсебярядФибоначчи,асталобыть,проявляетсебязаконзолотогосечения.Паукплететпаутинуспиралеобразно.Спиральюзакручиваетсяураган.Испуганноестадосеверныхоленейразбегаетсяпоспирали.МолекулаДНКзакрученадвойнойспиралью.Гетеназывалспираль«кривойжизни».
Средипридорожныхтраврастетничемнепримечательноерастение–цикорий.Приглядимсякнемувнимательно.Отосновногостебляобразовалсяотросток.Тутжерасположилсяпервыйлисток.Рис.13.Цикорий
Отростокделаетсильныйвыбросвпространство,останавливается,выпускаетлисток,ноужекорочепервого,сноваделаетвыбросвпространство,ноужеменьшейсилы,выпускаетлистокещеменьшегоразмераисновавыброс.Еслипервыйвыброспринятьза100единиц,товторойравен62единицам,третий–38,четвертый–24ит.д.Длиналепестковтожеподчиненазолотойпропорции.Вросте,завоеваниипространстварастениесохранялоопределенныепропорции.Импульсыегоростапостепенноуменьшалисьвпропорциизолотогосечения.
Рис.14.Ящерицаживородящая
Вящерицеспервоговзглядаулавливаютсяприятныедлянашегоглазапропорции–длинаеехвостатакотноситсякдлинеостальноготела,как62к38.
Иврастительном,ивживотноммиренастойчивопробиваетсяформообразующаятенденцияприроды–симметрияотносительнонаправленияростаидвижения.Здесьзолотоесечениепроявляетсявпропорцияхчастейперпендикулярнокнаправлениюроста.
Природаосуществиладелениенасимметричныечастиизолотыепропорции.Вчастяхпроявляетсяповторениестроенияцелого.
Рис.15.Яйцоптицы
ВеликийГете,поэт,естествоиспытательихудожник(онрисовалиписалакварелью),мечталосозданииединогоученияоформе,образованииипреобразованииорганическихтел.Этоонввелвнаучныйобиходтерминморфология.
ПьерКюривначаленашегостолетиясформулировалрядглубокихидейсимметрии.Онутверждал,чтонельзярассматриватьсимметриюкакого-либотела,неучитываясимметриюокружающейсреды.
Закономерности«золотой»симметриипроявляютсявэнергетическихпереходахэлементарныхчастиц,встроениинекоторыххимическихсоединений,впланетарныхикосмическихсистемах,вгенныхструктурахживыхорганизмов.Этизакономерности,какуказановыше,естьвстроенииотдельныхоргановчеловекаителавцелом,атакжепроявляютсявбиоритмахифункционированииголовногомозгаизрительноговосприятия.
9.Золотоесечениеисимметрия
Золотоесечениенельзярассматриватьсамопосебе,отдельно,безсвязиссимметрией.ВеликийрусскийкристаллографГ.В. Вульф(1863...1925)считалзолотоесечениеоднимизпроявленийсимметрии.
Золотоеделениенеестьпроявлениеасимметрии,чего-топротивоположногосимметрииСогласносовременнымпредставлениямзолотоеделение–этоасимметричнаясимметрия.Внаукуосимметриивошлитакиепонятия,какстатическаяидинамическаясимметрия.Статическаясимметрияхарактеризуетпокой,равновесие,адинамическая–движение,рост.Так,вприродестатическаясимметрияпредставленастроениемкристаллов,авискусствехарактеризуетпокой,равновесиеинеподвижность.Динамическаясимметриявыражаетактивность,характеризуетдвижение,развитие,ритм,она–свидетельствожизни.Статическойсимметриисвойственныравныеотрезки,равныевеличины.Динамическойсимметриисвойственноувеличениеотрезковилиихуменьшение,ионовыражаетсяввеличинахзолотогосечениявозрастающегоилиубывающегоряда.
10.Разгадкатайнызолотогосечения
Золотоесечение-этосечениеотрезканадвечаститак,чтодлинабольшейчастиотноситсякдлинеменьшейчаститакже,какдлинавсегоотрезкакдлинебольшейчасти.
Золотойвурф-этопоследовательныйрядотрезков,когдасмежныеотрезкинаходятсявотношениизолотогосечения.
Рассмотримгармоническийпроцессколебанийструны.
Наструнемогутсоздаватьсястоячиеволныосновнойивысшихгармоник(обертонов).Длиныполуволнгармоническогорядасоответствуютфункции1/N,гдеN-натуральноечисло.Длиныполуволнмогутбытьвыраженывпроцентахотдлиныполуволныосновнойгармоники:100%50%33%25%20%...Возбудитьтуилиинуюгармоникуможновоздействиемнасоответствующийучастокструны.Вслучаевоздействиянапроизвольныйучастокструныбудутвозбуждатьсявсегармоникисразличнымиамплитуднымикоэффициентами,которыезависятоткоординатыучастка,отшириныучасткаиотчастотно-временныххарактеристиквоздействия.
Введемфункциювосприимчивостиструныкимпульсномувоздействию.
Учитываяразныезнакифазчетныхинечетныхгармоник,получимзнакопеременнуюфункцию,котораявпервомприближениисоответствуетфункцииБесселя,апобольшомусчетуПси-функцииШредингера.
Выглядитонаприблизительноследующимобразом:
Еслиточкузакрепленияпринятьзаначалоотсчета,асерединуструныза100%,томаксимумвосприимчивостипо1-ойгармоникебудетсоответствовать100%,по2-й-50%,по3-ей-33%ит.д.
Посмотрим,гдебудетнашафункцияпересекатьосьабсцисс.
62%38%23.6%14.6%9%5,6%3.44%2.13%1.31%0.81%0.5%0.31%0.19%0.12%...
Этопропорциязолотоговурфа.Каждоеследующеечислов0.618разотличаетсяотпредыдущего.Получилосьследующее:
Возбуждениеструнывточке,делящейеевотношениизолотогосеченияначастотеблизкойкосновнойгармонике,невызоветколебанийструны,т.е.точказолотогосечения-этоточкакомпенсации,демпфирования.
Длядемпфированиянаболеевысокихчастотах,кпримеруна4-ойгармонике,точкукомпенсациинужновыбратьв4-омпересечениифункциисосьюабсцисс.
Еслимысоздадимпрямоугольныйплоскийрезонаторэлектромагнитныхколебаний,стороныкоторогоотносятсявпропорциизолотогосечения,токолебаниявтакомрезонаторебудутразделеныподвумстепенямсвободы,т.к.колебаниявдольбольшейсторонынесмогутвозбудитьколебанийвдольменьшейстороны,т.к.дляменьшейстороныдлинабольшейсторонысоответствуетточкекомпенсации.
Теперьстановитсяпонятнойпричина,побудившаясоздатьпрямоугольныеячейкиспропорциейзолотогосеченияналетательныхаппаратахсэлектромагнитнымиисточникамиэнергии.Этопозволилосориентироватьэлектромагнитныеколебанияпонужномунаправлению(вертикальноилигоризонтально).Далее,этипропорцииужебылиотраженывархитектурекультовыхсооруженийисталиканонамиискусства.
11.Золотоесечениевскульптуре
Скульптурныесооружения,памятникивоздвигаются,чтобыувековечитьзнаменательныесобытия,сохранитьвпамятипотомковименапрославленныхлюдей,ихподвигиидеяния.
Известно,чтоещевдревностиосновускульптурысоставлялатеорияпропорций.Отношениячастейчеловеческоготеласвязывалисьсформулойзолотогосечения.
Пропорции«золотогосечения»создаютвпечатлениегармониикрасоты,поэтому
скульпторыиспользовалиихвсвоихпроизведениях.
Скульпторыутверждают,чтоталияделитсовершенноечеловеческоетеловотношении«золотогосечения».Так,например,знаменитаястатуяАполлонаБельведерскогосостоитизчастей,делящихсяпозолотымотношениям.
ВеликийдревнегреческийскульпторФидийчастоиспользовал«золотоесечение»в
своихпроизведениях.СамымизнаменитымиизнихбылистатуяЗевсаОлимпийского(котораясчиталасьоднимизчудессвета)иАфиныПарфенос.
Измерениянесколькихтысяччеловеческихтелпозволилиобнаружить,чтодлявзрослыхмужчинэтоотношениеравно=1,625,адлявзрослыхженщиноносоставляет=1,6.Такчтопропорциимужчинближек«золотомусечению»,чемпропорцииженщин.Былопроведенобольшоечислоизмеренийнапомещенныхвжурналахкрупныхпортретахмужчиниженщин,намногихизнихуказанныеотношенияпредставляют«золотоесечение».
12.Золотоесечениевархитектуре
Вкнигахо«золотомсечении»можнонайтизамечаниеотом,чтовархитектуре,какивживописи,всезависитотположениянаблюдателя,ичто,еслинекоторыепропорциивзданиисоднойстороныкажутсяобразующими«золотоесечение»,тосдругихточекзренияонибудутвыглядетьиначе.«Золотоесечение»даетнаиболееспокойноесоотношениеразмеровтехилииныхдлин.
ОднимизкрасивейшихпроизведенийдревнегреческойархитектурыявляетсяПарфенон(V в.дон. э.).
Парфенонимеет8колоннпокороткимсторонами17подлинным.выступысделаныцеликомизквадратовпентилейскогомрамора.Благородствоматериала,изкоторогопостроенхрам,позволилоограничитьприменениеобычнойвгреческойархитектурераскраски,онатолькоподчеркиваетдеталииобразуетцветнойфон(синийикрасный)дляскульптуры.Отношениевысотызданиякегодлинеравно0,618.ЕслипроизвестиделениеПарфенонапо«золотомусечению»,тополучимтеилииныевыступыфасада.
ДругимпримеромизархитектурыдревностиявляетсяПантеон.
ИзвестныйрусскийархитекторМ.Казаковвсвоемтворчествеширокоиспользовал«золотоесечение».
Еготалантбылмногогранным,новбольшейстепенионраскрылсявмногочисленныхосуществленныхпроектахжилыхдомовиусадеб.Например,«золотоесечение»можнообнаружитьвархитектурезданиясенатавКремле.ПопроектуМ. КазаковавМосквебылапостроенаГолицынскаябольница,котораявнастоящеевремяназываетсяПервойклиническойбольницейимениН.И. Пирогова(Ленинскийпроспект,д. 5).
ЕщеодинархитектурныйшедеврМосквы–домПашкова–являетсяоднимизнаиболеесовершенныхпроизведенийархитектурыВ.Баженова.
ПрекрасноетворениеВ.БаженовапрочновошловансамбльцентрасовременнойМосквы,обогатилоего.Наружныйвиддомасохранилсяпочтибезизмененийдонашихдней,несмотрянато,чтоонсильнообгорелв1812 г.
Привосстановлениизданиеприобрелоболеемассивныеформы.Несохраниласьивнутренняяпланировказдания,окоторойдаютпредставлениятолькочертежнижнегоэтажа.
Многиевысказываниязодчегозаслуживаютвниманиеивнашидни.ОсвоемлюбимомискусствеВ.Баженовговорил:«Архитектура–главнейшиеимееттрипредмета:красоту,спокойностьипрочностьздания...Кдостижениюсегослужитруководствомзнаниепропорции,перспектива,механикаиливообщефизика,авсемимобщимвождемявляетсярассудок».
13.Золотоесечениевживописи
Переходякпримерам«золотогосечения»вживописи,нельзянеостановитьсвоеговниманиянатворчествеЛеонардодаВинчи.Еголичность–однаиззагадокистории.СамЛеонардодаВинчиговорил:«Пустьникто,небудучиматематиком,недерзнетчитатьмоитруды».
Онснискалславунепревзойденногохудожника,великогоученого,гения,предвосхитившегомногиеизобретения,которыенебылиосуществленывплотьдоXX в.
Нетсомнений,чтоЛеонардодаВинчибылвеликимхудожником,этопризнавалиужеегосовременники,ноеголичностьидеятельностьостанутсяпокрытымитайной,таккаконоставилпотомкамнесвязноеизложениесвоихидей,алишьмногочисленныерукописныенаброски,заметки,вкоторыхговорится«обовсемнасвете».
Онписалсправаналевонеразборчивымпочеркомилевойрукой.Этосамыйизвестныйизсуществующихобразецзеркальногописьма.
ПортретМонныЛизы(Джоконды)долгиегодыпривлекаетвниманиеисследователей,которыеобнаружили,чтокомпозициярисункаосновананазолотыхтреугольниках,являющихсячастямиправильногозвездчатогопятиугольника.Существуеточеньмноговерсийобисторииэтогопортрета.Вотоднаизних.
ОднаждыЛеонардодаВинчиполучилзаказотбанкираФранческоделеДжокондонаписатьпортретмолодойженщины,женыбанкира,МонныЛизы.Женщинанебылакрасива,новнейпривлекалапростотаиестественностьоблика.Леонардосогласилсяписатьпортрет.Егомодельбылапечальнойигрустной,ноЛеонардорассказалейсказку,услышавкоторую,онасталаживойиинтересной.
Сказка
Жил-былодинбедныйчеловек,былоунегочетыресына:триумных,аодинизнихитак,исяк.Ивотпришлазаотцомсмерть.Передтем,какрасстатьсясжизнью,онпозвалксебедетейисказал:«Сынымои,скорояумру.Кактольковысхоронитеменя,запритехижинуиидитенакрайсветадобыватьсебесчастья.Пустькаждыйизвасчему-нибудьнаучится,чтобымогкормитьсамсебя».Отецумер,асыновьяразошлисьпосвету,договорившисьспустятригодавернутьсянаполянуроднойрощи.
Пришелпервыйбрат,которыйнаучилсяплотничать,срубилдеревоиобтесалего,сделализнегоженщину,отошелнемногоиждет.Вернулсявторойбрат,увиделдеревяннуюженщинуи,таккаконбылпортной,воднуминутуоделее:какискусныймастеронсшилдлянеекрасивуюшелковуюодежду.Третийсынукрасилженщинузолотомидрагоценнымикамнями–ведьонбылювелир.Наконец,пришелчетвертыйбрат.Оннеумелплотничатьишить,онумелтолькослушать,чтоговоритземля,деревья,травы,зверииптицы,зналходнебесныхтелиещеумелпетьчудесныепесни.Онзапелпесню,откоторойзаплакалипритаившиесязакустамибратья.Песнейэтойоноживилженщину,онаулыбнуласьивздохнула.
Братьябросилиськнейикаждыйкричалодноитоже:«Тыдолжнабытьмоейженой».Ноженщинаответила:«Тыменясоздал–будьмнеотцом.Тыменяодел,атыукрасил–будьтемнебратьями.Аты,чтовдохнулвменядушуинаучилрадоватьсяжизни,тыодинмненуженнавсюжизнь».
Кончивсказку,ЛеонардовзглянулнаМоннуЛизу,еелицоозарилосьсветом,глазасияли.Потом,точнопробудившисьотсна,онавздохнула,провелаполицурукойибезсловпошланасвоеместо,сложиларукиипринялаобычнуюпозу.Ноделобылосделано–художникпробудилравнодушнуюстатую;улыбкаблаженства,медленноисчезаясеелица,осталасьвуголкахртаитрепетала,придаваялицуизумительное,загадочноеичутьлукавоевыражение,какучеловека,которыйузналтайнуи,бережноеехраня,неможетсдержатьторжество.
Леонардомолчаработал,боясьупуститьэтотмомент,этотлучсолнца,осветившийегоскучнуюмодель...
Трудноотметить,чтозамечаливэтомшедевреискусства,новсеговорилиотомглубокомзнанииЛеонардостроениячеловеческоготела,благодарякоторомуемуудалосьуловитьэту,какбызагадочную,улыбку.Говорилиовыразительностиотдельныхчастейкартиныиопейзаже,небывало