Филлотаксис и последовательность Фибоначчи
В. Березин
Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).
Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.
Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой
Fn = Fn–1 + Fn–2.
Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2 = 1 – α.
Выразим значения степеней α3, α4, α5, ... через 1 = α0 и α:
α3 =
α·α2 = 2α – 1,
α4 =
2 – 3α,
α5 =
5α – 3, ...
Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1? По-видимому, и для любого n можно записать формулу
αn = (–1)n (Fn–1 – Fnα),
где Fn–1 и Fn — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:
αn+1 = αn·α
= (–1)n (Fn–1α – Fnα2) = (–1)n (Fn–1α – Fn(1 – α)) =
= (–1)n (–Fn + (Fn–1 + Fn)α) = (–1)n+1 (Fn – Fn+1α).
У уравнения α2 = 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,
ì
(–1)n α1n = Fn–1 – Fnα1,
í
î
(–1)n α2n = Fn–1 – Fnα2.
Решая эту систему относительно Fn, получаем, что
Fn =
1
√5
(
1 + √5
2
)
n
–
(
1 – √5
2
)
n
.
И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.
Следующую неожиданность получим, если вычислим
lim
n → ∞
Fn
Fn+1
=
√5 – 1
2
.
Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.
Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:
n
n
Fn+2 = 1 +
∑
Fk, F2n =
∑
F2k–1,
k=1
k=1
n
2n–1
F2n+1 = 1 +
∑
F2k, F2n–2 = –1 +
∑
(–1)k–1 Fk,
k=1
k=1
2n–1
F
2
2n
=
∑
FkFk+1, F2n–1 = F
2
n
+ F
2
n–1
.
k=1
Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах , и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/