смотреть на рефераты похожие на "Электроснабжение"
СОДЕРЖАНИЕ
1. Задание.
2. Расчетно-пояснительная записка.
3. Аннотация.
4. Ведение.
5. Теория.
6. Алгоритмы.
7. Программы.
8. Инструкция пользователя.
9. Результаты экспериментов.
10. Заключение.
ЗАДАНИЕ
A. Выписать систему конечно-разностных уравнений.
B. Оценить вычислительные затраты, требуемые для выполнения аналитических решений с шестью десятичными цифрами в 100 и 1000 точках интервала.
Определить и использовать разложение в ряд Тейлора для этих вычислений.
C. Оценить до проведения любых вычислений те вычислительные затраты, которые потребуются для решения конечно-разностных уравнений в 100 и 1000 точках при помощи:
4. Исключения Гаусса,
5. Итерационного метода Якоби,
6. Итерационного метода Гаусса-Зейделя.
G. Вычислить решения конечно-разностных уравнений при помощи каждого из трех методов из задания C.
H. Оценить применимость различных методов приближен-ного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.
АННОТАЦИЯ
В данной работе по исследованию прямых и итерационных методов решения
линейных систем, возникающих в краевых задачах для дифференциальных
уравнений было составлено шесть программ непосредственно по алгоритмам
Гаусса, Якоби, Гаусса-Зейделя. Каждый из методов был представлен в виде
самостоятельной программы, которая имеет инструкцию для пользователя.
Каждая программа работает по определенному управлению, причем программа
Гаусса формирует матрицу сама, а в программах Якоби и Гаусса-Зейделя
вводится только количество точек на интервал, исходя из чего формируется
столбец неизвестных членов. Начальные значения неизвестных задаются
автоматически на основе результатов, полученных в ходе исследования были
сделаны соответствующие выводы.
ВВЕДЕНИЕ
Персональные компьютеры являются одним из самых мощных факторов развития человечества. Благодаря универсальности, высокому быстродействию, неутомимостью в работе, простоте в управлении PC нашли широкое применение в различных сферах деятельности человека.
С развитием научно-технического прогресса все большая часть задач требует решения на ЭВМ, поэтому наш курсовой проект направили на развитие не только определенных навыков логического мышления, но и способность развивать и закреплять эти навыки.
ТЕОРИЯ
Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений конечными
разностями приводит к линейным уравнениям; если рассматривается краевая
задача, то уравнения образуют совместную линейную систему.
Прямым методом решения линейной системы называется любой метод,
который позволяет получить решение с помощью конечного числа элементарных
арифметических операций: сложения, вычитания, деления и т.д. Этот метод
основан на сведении матрицы, системы A к матрице простой структуры -
диагональной (и тогда решение очевидно ) и треугольной - разработка
эффективных методов решения таких систем. Например, если А является верхней
треугольной матрицей:
; решение отыскивается с помощью последовательных обратных
подстановок. Сначала из последнего уравнения вычисляется , затем
полученные значения подставляются в предыдущие уравнения и вычисляется
и т.д.
; ; или в общем виде:
, i=n, n-1, ..., 1.
Стоимость такого решения составляет сложений умножений(а также и
делении, которыми можно пренебречь).
Сведение матриц А к одному из двух указанных выше видов осуществляется с
помощью ее умножения на специально подобранную матрицу М, так что система
преобразуется в новую систему .
Во многих случаях матрицу М подбирают таким образом, чтобы матрица МА
стала верхней треугольной.
Прямые методы решения СЛУ нельзя применять при очень больших, из-за
нарастающих ошибок, округлениях, связанных с выполнением большого числа
арифметических операций. Устранить эти трудности помогают итерационные
методы. С их помощью можно получить, начиная с вектора , бесконечную
последовательность векторов, сходящихся к решению системы( m- номер
итерации )
.
Метод является сходящимся, если это состояние справедливо для произвольного
начального вектора .
Во всех методах, которые рассмотрены ниже, матрица А представляется в
виде А=М-N ( ниже показано, как это наполняется ) и последовательно
решаются системы
.
Формально решением системы является:
где - обратная матрица. Решение итерационным методом упрощается еще
и потому, что на каждом шагу надо решать систему с одними и теми же
матрицами. Очевидно, что матрица М должна быть легко обращаемой, а для
получения желаемой точности надо выполнить определенное число итераций.
Критерием окончания итерационного процесса является соблюдение
соотношения:
или , где - вектор невязок уравнений , ии - допустимая
погрешность СЛУ по неувязке или приращению вектора неизвестных на итерации.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Многие физические системы моделируются дифферинци-альными уравнениями,
например :
которые не могут быть решены аналитически. Приближение этих уравнений
конечными разностями основано на дискредитации интервала [0,1] как показано
на рис.1 и замене производной.
простой разностью, например :
где, 0,2=1/5=X4-X3.
Тогда аппроксимирующее разностное уравнение имеет вид:
В каждой точке дискретизации справедливо одно такое уравнение, которое
приводит к линейной системе для приближенных значений решения
дифференциального уравнения.
Уравнения такого вида можно решить с помощью разложения в ряд Тейлора. В
нашем случае уравнения решенные разложением в ряд Тейлора имеют вид;
Найти
y’(0); y’’(0)=1; y’’’(0)=1; обозначим у’(0) как С.
Решение:
Решение:
Система конечно-разностных уравнений
интервал [0,2] разделим на 10 точек
-2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04
1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0.04
0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0.04
0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0.04
0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0.04
0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0.04
0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0.04
0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0.04
0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0.04
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 -2+0.04
5 точек.
| |1 |0 |0 |0 | |0 |
|1 | |1 |0 |0 | |0 |
|0 |1 | |1 |0 | |0 |
|0 |0 |1 | |1 | |0 |
|0 |0 |0 |1 | | |0 |
АЛГОРИТМ ГАУССА
Назначение: Решить относительно Х.
Входные параметры: masheps R, n Z,
Вектор правых частей .
Входно - выходные параметры , после разложения в А сохраняются ее верхние треугольные
сомножители,.
Код возврата retcode=0 при успешном решении и retcode=1 при вырождении
матрицы.
Выходные параметры: .
Алгоритм
1. retcode=0
2. if n=1 then
3 if A[1,1]=0 then retcode=1
4 return
(*Гауссово исключение с частичным выбором ведущего элемента*)
3. for k=1 to n do (*найти ведущий элемент*)
4 Amax